Rozkład dwumianowy to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów podczas przeprowadzania n niezależnych eksperymentów na zmiennej losowej..
Istnieje duża różnorodność eksperymentów lub zdarzeń, które można scharakteryzować w ramach tego rozkładu prawdopodobieństwa. Wyobraź sobie rzut monetą, w którym wydarzenie „uderzenie głową” definiujemy jako sukces. Jeśli rzucimy monetą 5 razy i policzymy trafienia (orły), które otrzymamy, nasz rozkład prawdopodobieństwa będzie pasował do rozkładu dwumianowego.
Dlatego rozkład dwumianowy jest rozumiany jako seria testów lub prób, w których możemy mieć tylko 2 wyniki (sukces lub porażka), przy czym sukces jest naszą zmienną losową.
Własności rozkładu dwumianowego
Aby uznać, że zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, musi spełniać następujące właściwości:
- W każdej próbie, eksperymencie lub teście możliwe są tylko dwa wyniki (sukces lub porażka).
- Prawdopodobieństwo sukcesu musi być stałe. Jest to reprezentowane przez literę p. Prawdopodobieństwo rzutu orłem monety wynosi 0,5 i jest stałe, ponieważ moneta nie zmienia się w każdym eksperymencie, a prawdopodobieństwo rzutu orłem jest stałe.
- Prawdopodobieństwo niepowodzenia również musi być stałe. Jest to reprezentowane przez literę q = 1-p. Należy zauważyć, że za pomocą tego równania, znając p lub znając q, możemy uzyskać to, którego nam brakuje.
- Wynik uzyskany w każdym eksperymencie jest niezależny od poprzedniego. Dlatego to, co dzieje się w każdym eksperymencie, nie wpływa na kolejne.
- Zdarzenia wykluczają się wzajemnie, to znaczy, że nie mogą występować jednocześnie. Nie można być mężczyzną i kobietą w tym samym czasie, ani że podczas rzucania monetą wypadnie ona w tym samym czasie.
- Zdarzenia są zbiorowo wyczerpujące, co oznacza, że przynajmniej jedno z nich musi wystąpić. Jeśli nie jesteś mężczyzną, jesteś kobietą, a jeśli rzucasz monetą, jeśli nie wypada reszki, to muszą być reszki.
- Zmienna losowa, która następuje po rozkładzie dwumianowym, jest zwykle reprezentowana jako X ~ (n, p), gdzie n oznacza liczbę prób lub eksperymentów, a p prawdopodobieństwo sukcesu.
Wzór na rozkład dwumianowy
Wzór na obliczenie rozkładu normalnego to:
Gdzie:
n = liczba prób / eksperymentów
x = liczba sukcesów
p = prawdopodobieństwo sukcesu
q = Prawdopodobieństwo niepowodzenia (1-p)
Należy zauważyć, że wyrażenie w nawiasach kwadratowych nie jest wyrażeniem macierzowym, ale jest wynikiem kombinacji bez powtórzeń. Uzyskuje się to za pomocą następującego wzoru:
Wykrzyknik w poprzednim wyrażeniu reprezentuje symbol silni.
Przykład rozkładu dwumianowego
Wyobraźmy sobie, że 80% ludzi na świecie widziało finałowy mecz ostatnich mistrzostw świata w piłce nożnej. Po wydarzeniu spotyka się 4 znajomych, aby porozmawiać.Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 z nich widziało grę?
Zdefiniujmy zmienne eksperymentu:
n = 4 (to całkowita próbka, którą mamy)
x = liczba sukcesów, która w tym przypadku jest równa 3, ponieważ szukamy prawdopodobieństwa, że 3 z 4 znajomych to widziało.
p = prawdopodobieństwo sukcesu (0,8)
q = prawdopodobieństwo niepowodzenia (0,2). Ten wynik uzyskuje się odejmując 1-p.
Po zdefiniowaniu wszystkich naszych zmiennych po prostu podstawiamy w formule.
Licznik silni otrzymamy mnożąc 4 * 3 * 2 * 1 = 24, a w mianowniku mielibyśmy 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Zatem wynik silni byłby 24/6 = 4 .
Poza nawiasem mamy dwie liczby. Pierwsza to 0,8 3 = 0,512, a druga 0,2 (ponieważ 4-3 = 1 i dowolna liczba podniesiona do 1 jest taka sama).
Zatem nasz końcowy wynik byłby: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Jeśli pomnożymy przez 100, mamy 40,96% prawdopodobieństwa, że 3 z 4 znajomych widziało finałowy mecz Mistrzostw Świata.
