Nierówność Czebyszewa to twierdzenie stosowane w statystyce, które zapewnia konserwatywne oszacowanie (przedział ufności) prawdopodobieństwa, że zmienna losowa o skończonej wariancji będzie w pewnej odległości od swojego matematycznego oczekiwania lub jego średniej.
Jej formalny wyraz jest następujący:
X = Szacowana wartość
µ = Matematyczne oczekiwanie wartości oszacowanej
Ϭ = Odchylenie standardowe wartości oczekiwanej
k = liczba odchyleń standardowych
Wychodząc od tego ogólnego wyrażenia i rozwijając część, która pozostaje w wartości bezwzględnej, otrzymalibyśmy:
Jeśli zwrócimy uwagę na poprzednie wyrażenie, można zauważyć, że część po lewej stronie to nie więcej niż a przedział ufności. Daje nam to zarówno dolną, jak i górną granicę szacowanej wartości. Dlatego nierówność Czebyszewa mówi nam o minimalnym prawdopodobieństwie, że parametr populacji mieści się w pewnej liczbie odchyleń standardowych powyżej lub poniżej średniej. Innymi słowy, daje nam to prawdopodobieństwo, że parametr populacji mieści się w tym przedziale ufności.
Nierówność Czebyszewa dostarcza przybliżonych granic dla oszacowanej wartości. Pomimo pewnego stopnia niedokładności, jest to bardzo przydatne twierdzenie, ponieważ można je zastosować do szerokiego zakresu zmiennych losowych niezależnie od ich rozkładów. Jedynym ograniczeniem, aby móc wykorzystać tę nierówność, jest to, że k musi być większe od 1 (k> 1).
Nierówność matematycznaPrzykład zastosowania nierówności Czebyszewa
Załóżmy, że jesteśmy menedżerami funduszu inwestycyjnego. Zarządzany przez nas portfel ma średni zwrot 8,14% i odchylenie standardowe 5,12%. Aby na przykład wiedzieć, jaki procent naszych zwrotów wynosi co najmniej 3 odchylenia standardowe od naszej średniej rentowności, zastosujemy po prostu poprzedni wzór wyrażenia 2.
k = 1,96
Podstawiając wartość k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Oznacza to, że 73,9% wyników znajduje się w przedziale ufności znajdującym się przy 1,96 odchyleniu standardowym od średniej.
Zróbmy poprzedni przykład dla wartości innych niż k.
k = 2,46
k = 3
Podstawiając wartość k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Podstawiając wartość k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
83,5% danych znajduje się w odległości 2,46 odchylenia standardowego od średniej, a 88,9% mieści się w zakresie 3 odchyleń standardowych od średniej.
Korzystając z nierówności Czebyszewa, łatwo wywnioskować, że im wyższa wartość K (im większe odchylenie wartości oszacowanej od jej średniej), tym większe prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajduje się w ograniczonym przedziale.
KurtozaCentralne twierdzenie graniczneNierówność