Stożek to trójwymiarowa figura geometryczna, którą tworzy obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg.
Stożek jest wówczas bryłą geometryczną o okrągłej podstawie, która jest dołączona do zewnętrznego punktu zwanego wierzchołkiem.
Należy zauważyć, że stożek jest ciałem rewolucyjnym. Oznacza to, że możesz to uzyskać, obracając figurę lub płaską powierzchnię wokół osi. Tego typu figury wyróżniają się tym, że nie mają płaskich powierzchni, takich jak wielokąt, ale zakrzywioną powierzchnię. Inne przykłady to cylinder i kula.
Należy wyjaśnić, że w tym artykule szczegółowo omówimy charakterystykę stożka, czyli tego, w którym wierzchołek jest prostopadły do podstawy (tworząc kąt prosty lub 90º). Istnieją jednak stożki skośne, takie, w których ten warunek nie jest spełniony i postać jest pochylona.
Elementy stożka
Elementy stożka, którymi kierujemy się z poniższego rysunku, to:
- Oś: Jest to wyimaginowana linia, na której znajduje się noga, wokół której obraca się trójkąt prostokątny tworzący stożek.
- Baza: Jest to okrąg, na którym uformowany jest korpus stożka. Jego promień (r) to odcinek AC.
- Dyrektywa: Jest to obwód podstawy stożka.
- Generatrix (segment BC o długości L): Jest to linia, która łączy wierzchołek z dowolnym punktem na kierownicy. Oznacza to, że każdy segment, który łączy wierzchołek z konturem podstawy. Również przeciwprostokątna prawego trójkąta jest obracana, tworząc stożek.
- Wierzchołek stożka (punkt B): Punktem zewnętrznym jest kierownica, w której pokrywają się wszystkie tworzące figury. Jest to wierzchołek geometrycznego ciała.
- Wysokość (segment AB o długości h): Jest to prostopadły odcinek, który łączy wierzchołek i podstawę. Zbiega się z nogą, wokół której obraca się trójkąt, aby wygenerować stożek.
Powierzchnia i objętość stożka
Aby lepiej zrozumieć charakterystykę szyszki, możemy obliczyć następujące pomiary:
- Powierzchnia: Aby znaleźć powierzchnię stożka musimy dodać powierzchnię podstawy (Ab) plus obszar ciała figury lub obszar boczny (AL)
Powierzchnię podstawy oblicza się tak, jak wyjaśniono w artykule o obwodzie, mnożąc π przez promień obwodu do kwadratu.
Podobnie, powierzchnia boczna jest obliczana poprzez pomnożenie π przez promień podstawy i długość tworzącej (L).
Możemy więc znaleźć całkowitą powierzchnię figury:
Musimy również wziąć pod uwagę, że tworząca jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, który tworzy wraz z promieniem podstawy i wysokością stożka, przy czym dwie ostatnie to nogi. Dlatego można zastosować twierdzenie Pitagorasa:
- Tom: Objętość stożka jest obliczana przez pomnożenie 1/3 przez promień podstawy do kwadratu, przez π i przez wysokość stożka.
Przykład stożka
Załóżmy, że mamy stożek, którego podstawa ma promień 12 metrów, a wysokość figury wynosi 14 metrów. Jaka jest powierzchnia i objętość stożka?
Najpierw rozwiązujemy długość tworzącej (L), stosując twierdzenie Pitagorasa, jak wyjaśniono powyżej:
Następnie wstawiamy L do formuły area, aby znaleźć powierzchnię stożka:
Wreszcie znajdujemy objętość:
