Termin wklęsły jest używany do opisania powierzchni, która ma krzywiznę do wewnątrz, a jej centralna część jest najbardziej zapadnięta lub wklęsła.
Dlatego mówimy, że wzniesienie lub przeszkoda, taka jak ta, którą można zobaczyć na drogach w celu ograniczenia prędkości, jest wklęsła.
Podobnie można przeanalizować, czy istnieją figury geometryczne, które są również wklęsłe. Na przykład krzywa wklęsła to krzywa o kształcie odwróconej litery U. Jednym ze sposobów na łatwe zapamiętanie, jak wygląda funkcja wklęsła, jest smutna twarz.
Chociaż wykorzystaliśmy wklęsłość w odniesieniu do krzywej, prawda jest taka, że ma ona również zastosowanie do funkcji matematycznych i wielokątów, jak zobaczymy później.
Jak sprawdzić, czy funkcja jest wklęsła?
Jeśli druga pochodna funkcji jest mniejsza od zera w punkcie, wtedy funkcja jest w tym punkcie wklęsła.
Powyższe można wyrazić w następujący sposób:
f »(x) <0
Na przykład mamy funkcję f (x) = -x2 + 2x + 5. Jego pierwsza pochodna to f '(x) = -2x +2, a druga pochodna to f »(x) = -2. Dlatego funkcja f(x) = x2 + x + 3 jest wklęsła dla każdej wartości x, jak widać na poniższym wykresie, która jest parabolą:
Teraz wyobraźmy sobie tę inną funkcję f (x) = x3-5x2 +7. Jego pierwsza pochodna f '(x) = 3x2 -10x i jego druga pochodna f »(x) = 6x -10. Po obliczeniu drugiej pochodnej musimy sprawdzić dla jakich wartości x funkcja jest wypukła.
Czyli ustawiamy drugą pochodną równą 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Dlatego funkcja jest wklęsła, gdy x jest mniejsze niż 1,67, ponieważ druga pochodna równania jest ujemna. Możemy to sprawdzić podmieniając różne wartości x. Podobnie funkcja jest wypukła, gdy x jest większe niż 1,67, jak widać na poniższym obrazku:
Wielokąt wklęsły
Wielokąt wklęsły to taki, w którym, aby połączyć dwa jego punkty, należy narysować linię prostą znajdującą się poza figurą (przekątna zewnętrzna). Co najmniej jeden z jego wewnętrznych kątów jest większy niż 180º. Tak jest na przykład w przypadku czworoboku wklęsłego, takiego jak ten, który widzimy poniżej:
Przeciwieństwem wielokąta wklęsłego jest wielokąt wypukły. Jest to ten, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180º i aby połączyć dowolne dwa punkty na figurze, można narysować linię prostą, która pozostanie w wielokącie.