Macierz wariancji-kowariancji - Co to jest, definicja i pojęcie
Macierz wariancji-kowariancji to macierz kwadratowa o wymiarze nxm, która zbiera wariancje na głównej przekątnej oraz kowariancje w elementach poza główną przekątną.
Innymi słowy, macierz wariancji-kowariancji to macierz, która ma taką samą liczbę wierszy i kolumn oraz ma wariancje rozłożone na głównej przekątnej i kowariancje na elementach poza główną przekątną.
KowariancjaReprezentacja macierzowa
Macierz wariancji-kowariancji jest zwykle wyrażana jako
Chociaż wydaje się, że jest to symbol sumowania i że nie ma związku z macierzą wariancji-kowariancji, ta grecka litera doskonale reprezentuje treść tej macierzy.
Aby to zrozumieć, spójrzmy najpierw na jego wyrażenie:
Wiedząc, że istnieje m kolumn, wielokropek wskazuje, że pominięto kolumny między drugą a ostatnią kolumną. Podobnie wiedząc, że istnieje nie wierszy, wielokropek wskazuje, że pominięto wiersze między drugim a ostatnim wierszem.
W tym przypadku używamy sigma do reprezentowania kowariancji i sigma do kwadratu dla wariancji. Jako przykład:
Jaka grecka litera występuje we wszystkich elementach matrycy? Sigma.
Tak więc logiczne jest, że do zdefiniowania macierzy wariancji-kowariancji używana jest również sigma.
grecki list
jest formą kapitału
Jeśli więc pamiętamy, że macierz wariancji-kowariancji wyrażana jest wielką literą sigma, łatwiej będzie zapamiętać jej definicję.
Wymagania, aby była to macierz wariancji-kowariancji
Wymagania, aby macierz była wariancją-kowariancją, są następujące:
- Macierz kwadratowa: ta sama liczba wierszy (n) co kolumn (m), to n = m, a zatem wymiar tej macierzy może być wyrażony zarówno nxm jak i nxn.
- w główna przekątna tam są wariancje:
- Poza główną przekątną tam są kowariancje:
Aplikacja
Macierz wariancji-kowariancji jest bardzo popularna w ekonometrii, ponieważ jest wykorzystywana głównie do obliczania macierzy współczynników regresji liniowej między innymi przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów.
W finansach służy do uzyskania ogólnego obrazu zmienności aktywów finansowych.
Matematyczne wyrażenie wariancji i kowariancji
Matematyka wyraża się w następujący sposób:
- Kowariancja elementu n = 1 i m = 2
- Wariancja elementu n = 1 i m = 1
Można skorygować zarówno wariancję, jak i kowariancję. Oznacza to, że mianownik to n-1 zamiast n. Wynika to ze stopni swobody i zależy od tego, czy mówimy o wariancjach i kowariancjach populacji, czy próbki.
