Macierz wariancji-kowariancji - Co to jest, definicja i pojęcie

Macierz wariancji-kowariancji to macierz kwadratowa o wymiarze nxm, która zbiera wariancje na głównej przekątnej oraz kowariancje w elementach poza główną przekątną.

Innymi słowy, macierz wariancji-kowariancji to macierz, która ma taką samą liczbę wierszy i kolumn oraz ma wariancje rozłożone na głównej przekątnej i kowariancje na elementach poza główną przekątną.

Reprezentacja macierzowa

Macierz wariancji-kowariancji jest zwykle wyrażana jako

Chociaż wydaje się, że jest to symbol sumowania i że nie ma związku z macierzą wariancji-kowariancji, ta grecka litera doskonale reprezentuje treść tej macierzy.

Aby to zrozumieć, spójrzmy najpierw na jego wyrażenie:

Wiedząc, że istnieje m kolumn, wielokropek wskazuje, że pominięto kolumny między drugą a ostatnią kolumną. Podobnie wiedząc, że istnieje nie wierszy, wielokropek wskazuje, że pominięto wiersze między drugim a ostatnim wierszem.

W tym przypadku używamy sigma do reprezentowania kowariancji i sigma do kwadratu dla wariancji. Jako przykład:

Jaka grecka litera występuje we wszystkich elementach matrycy? Sigma.

Tak więc logiczne jest, że do zdefiniowania macierzy wariancji-kowariancji używana jest również sigma.

grecki list

jest formą kapitału

Jeśli więc pamiętamy, że macierz wariancji-kowariancji wyrażana jest wielką literą sigma, łatwiej będzie zapamiętać jej definicję.

Wymagania, aby była to macierz wariancji-kowariancji

Wymagania, aby macierz była wariancją-kowariancją, są następujące:

• Macierz kwadratowa: ta sama liczba wierszy (n) co kolumn (m), to n = m, a zatem wymiar tej macierzy może być wyrażony zarówno nxm jak i nxn.
• w główna przekątna tam są wariancje:

• Poza główną przekątną tam są kowariancje:

Aplikacja

Macierz wariancji-kowariancji jest bardzo popularna w ekonometrii, ponieważ jest wykorzystywana głównie do obliczania macierzy współczynników regresji liniowej między innymi przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów.

W finansach służy do uzyskania ogólnego obrazu zmienności aktywów finansowych.

Matematyczne wyrażenie wariancji i kowariancji

Matematyka wyraża się w następujący sposób:

• Kowariancja elementu n = 1 i m = 2

• Wariancja elementu n = 1 i m = 1

Można skorygować zarówno wariancję, jak i kowariancję. Oznacza to, że mianownik to n-1 zamiast n. Wynika to ze stopni swobody i zależy od tego, czy mówimy o wariancjach i kowariancjach populacji, czy próbki.