Kowariancja to wartość, która odzwierciedla, jak bardzo dwie zmienne losowe różnią się łącznie pod względem ich średnich.
Pozwala nam wiedzieć, jak zachowuje się zmienna na podstawie tego, co robi inna zmienna. To znaczy, kiedy X rośnie, jak zachowuje się Y? Zatem kowariancja może przyjmować następujące wartości:
Kowariancja (X, Y) jest mniejsza od zera, gdy „X” rośnie, a „Y” maleje. Istnieje negatywny związek.
Kowariancja (X, Y) jest większa od zera, gdy rośnie „X” i rośnie „Y”. Istnieje pozytywna relacja.
Kowariancja (X, Y) jest równa zeru, gdy nie ma związku między zmiennymi „X” i „Y”.
Obliczanie kowariancji
Wzór na kowariancję jest wyrażony w następujący sposób:
Gdzie y z akcentem to średnia zmiennej Y, a x z akcentem to średnia zmiennej X. „i” to pozycja obserwacji, a „n” całkowita liczba obserwacji.
Alternatywnie, gdy częstotliwości bezwzględne nie są jednolite (tj. pary i, j powtarzają się co najmniej raz), odpowiedni wzór jest następujący:
Własności kowariancji
Podczas pracy z nim należy wziąć pod uwagę właściwości, które ma i które są wywnioskowane z definicji kowariancji:
- Cov (X, b) = 0, gdzie b w tym przypadku jest stałą.
- Cov (X, X) = Var (X), to znaczy, kowariancja zmiennej i jej samej jest równa wariancji zmiennej.
- Cov (X, Y) = Cov (Y, X) kowariancja jest taka sama, niezależnie od kolejności, w jakiej je umieścimy.
- Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y) gdzie b i c są dwiema stałymi. Kowariancja dwóch zmiennych pomnożona przez dowolne dwie stałe jest równa kowariancji dwóch zmiennych pomnożonej przez pomnożenie stałych.
- Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) dodanie dowolnych dwóch stałych do każdej zmiennej nie wpływa na kowariancję.
- Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) lub to samo, kowariancja jest równa oczekiwaniu iloczynu dwóch zmiennych minus iloczyn dwóch oczekiwań oddzielnie.
Rozszerzenie poprzednich właściwości w przypadku, gdy dwie zmienne są niezależne. Oznacza to, że nie mają żadnej zależności statystycznej, to prawda, że:
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
Innymi słowy, oczekiwanie iloczynu dwóch zmiennych jest równe iloczynowi dwóch oddzielnych oczekiwań tych zmiennych.
RangaPrzykład kowariancji
Załóżmy, że mamy następujące dane dla X i Y.
Jak interpretujemy ten wynik?
Ta 4 mówi nam, że jest większa od zera, że te dwie zmienne mają dodatni związek. Aby poznać skorygowany związek między dwiema zmiennymi, powinniśmy obliczyć korelację liniową. Dwie kowariancje różnych zmiennych nie są porównywalne, ponieważ wartość kowariancji jest wartością bezwzględną, która zależy od jednostki miary zmiennych.
Współczynnik korelacji liniowejMatematyczna nadzieja
