Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X to liczba wyrażająca średnią wartość zjawiska, które ta zmienna reprezentuje.
Oczekiwanie matematyczne, zwane również wartością oczekiwaną, jest równe sumie prawdopodobieństw zaistnienia zdarzenia losowego pomnożonej przez wartość zdarzenia losowego. Innymi słowy, jest to średnia wartość zbioru danych. To, biorąc pod uwagę, że termin oczekiwanie matematyczne został ukuty przez teorię prawdopodobieństwa.
Natomiast w matematyce średnia wartość zdarzenia, które miało miejsce, nazywana jest średnią matematyczną. W rozkładach dyskretnych z tym samym prawdopodobieństwem w każdym zdarzeniu średnia arytmetyczna jest taka sama jak oczekiwanie matematyczne.
Przykład matematycznego oczekiwania
Zobaczmy prosty przykład, aby to zrozumieć.
Wyobraźmy sobie monetę. Dwie głowy, głowy i ogony. Jakie byłoby matematyczne oczekiwanie (wartość oczekiwana), że wyjdzie na jaw?
Oczekiwania matematyczne byłyby obliczone jako prawdopodobieństwo, że po rzuceniu monetą bardzo dużą liczbę razy wypadnie rewers.
Ponieważ moneta może wylądować tylko w jednej z tych dwóch pozycji i obie mają takie samo prawdopodobieństwo wyrzucenia, powiemy, że matematyczne oczekiwanie, że wyjdzie orłem, to jedna z dwóch, czyli tak samo, 50% czas .
Zrobimy test i rzucimy monetą 10 razy. Załóżmy, że moneta jest idealna.
Obroty i wynik:
- Kosztowny.
- Krzyż.
- Krzyż.
- Kosztowny.
- Krzyż.
- Kosztowny.
- Kosztowny.
- Kosztowny.
- Krzyż.
- Krzyż.
Ile razy była to głowa (liczymy trójkę)? 5 razy Ile razy wypadły ogony (liczymy X)? 5 razy. Prawdopodobieństwo bycia reprezentantem wyniesie 5/10 = 0,5 lub procentowo 50%.
Po wystąpieniu tego zdarzenia możemy obliczyć średnią matematyczną liczby wystąpień każdego zdarzenia. Kosztowna strona pojawiała się raz na dwa razy, czyli w 50% przypadków. Średnia odpowiada oczekiwaniom matematycznym.
Obliczanie oczekiwań matematycznych
Oczekiwania matematyczne oblicza się na podstawie prawdopodobieństwa każdego zdarzenia. Formuła formalizująca to obliczenie jest następująca:
Gdzie:
- X = wartość zdarzenia.
- P = Prawdopodobieństwo zdarzenia.
- ja = Okres, w którym ma miejsce to zdarzenie.
- N = Całkowita liczba okresów lub obserwacji.
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia nie zawsze jest takie samo, jak w przypadku monet. Istnieje niezliczona ilość przypadków, w których jedno wydarzenie jest bardziej prawdopodobne niż inne. Dlatego używamy P. We wzorze musimy również pomnożyć przez wartość zdarzenia przy obliczaniu liczb matematycznych. Poniżej widzimy przykład.
Do czego służy oczekiwanie matematyczne?
Oczekiwanie matematyczne jest stosowane we wszystkich tych dyscyplinach, w których nieodłącznie wiąże się obecność zdarzeń probabilistycznych. Dyscypliny takie jak statystyka teoretyczna, fizyka kwantowa, ekonometria, biologia czy rynki finansowe. Duża liczba procesów i zdarzeń zachodzących na świecie jest niedokładnych. Jasnym i łatwym do zrozumienia przykładem jest rynek akcji.
Na giełdzie wszystko jest obliczane na podstawie wartości oczekiwanych, dlaczego wartości oczekiwane? Ponieważ mamy nadzieję, że tak się stanie, ale nie możemy tego potwierdzić. Wszystko opiera się na prawdopodobieństwach, a nie na pewnikach. Jeśli oczekiwana wartość lub matematyczne oczekiwanie zwrotu aktywów wynosi 10% rocznie, oznacza to, że na podstawie informacji, które posiadamy z przeszłości, najprawdopodobniej zwrot wyniesie ponownie 10%. Jeśli tylko weźmiemy pod uwagę oczywiście matematyczne oczekiwanie jako metodę podejmowania naszych decyzji inwestycyjnych.
W teoriach rynków finansowych wiele osób posługuje się pojęciem matematycznego oczekiwania. Wśród tych teorii jest ta, którą Markowitz opracował na temat wydajnych portfeli.
W liczbach, bardzo upraszczając, załóżmy, że zwroty z aktywów finansowych są następujące:
Rentowność w latach 1, 2, 3 i 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Oczekiwana wartość byłaby sumą zwrotów pomnożoną przez ich prawdopodobieństwo wystąpienia. Prawdopodobieństwo, że każda rentowność „wystąpi” wynosi 0,25. Mamy cztery obserwacje, cztery lata. Każdego roku mają takie samo prawdopodobieństwo powtórzenia się.
Nadzieja = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Biorąc pod uwagę te informacje, powiemy, że oczekiwany zwrot z aktywa to 11,25%.
Długość życia