Reguła Laplace'a to metoda, która pozwala na szybkie obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej o wymiarze 3 × 3 lub większym za pomocą rekurencyjnego szeregu rozwinięć.
Innymi słowy, reguła Laplace'a rozkłada macierz początkową na macierze niższych wymiarów i dostosowuje jej znak na podstawie pozycji elementu w macierzy.
Ta metoda może być wykonana za pomocą wierszy lub kolumn.
Polecane artykuły: macierze, typologie macierzy i wyznacznik macierzy.
Wzór na regułę Laplace'a
Biorąc pod uwagę macierz Zmxn dowolny wymiar mxn,gdzie m = n, rozszerza się względem i-tego rzędu, wtedy:
- reijjest wyznacznikiem uzyskanym przez wyeliminowanie i-tego wiersza i i-tej kolumny Zmxn.
- Mijczy ja, j-th mniej. Wyznacznik reijw funkcji Mijnazywa się i, j-th kofaktormatrycy Zmxn.
- do to ustawienie znaku pozycji.
Teoretyczny przykład reguły Laplace'a
Definiujemy DO3×3 Co:
- Zacznijmy od pierwszego elementu a11. Przecieramy rzędy i kolumny, które tworzą11. Pierwszym wyznacznikiem będą elementy, które pozostaną bez kraty gra mniej pomnożone przez a11.
2. Kontynuujemy od drugiego elementu pierwszego rzędu, czyli do12. Powtarzamy proces: przecieramy wiersze i kolumny, które zawierają12.
Dostosowujemy znak małoletniego:
Dodajemy drugi wyznacznik mniejdo poprzedniego wyniku i tworzymy serię rozszerzeń w taki sposób, że:
3. Kontynuujemy od trzeciego elementu pierwszego rzędu, czyli do13. Powtarzamy proces: przecieramy wiersz i kolumnę, które zawierają13.
Dodajemy trzeci wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i rozszerzamy serię rozszerzeń w taki sposób, aby:
Ponieważ w pierwszym wierszu nie ma już elementów, zamykamy proces rekurencyjny. Obliczamy determinanty nieletni.
W ten sam sposób, w jaki zostały użyte elementy z pierwszego wiersza, tę metodę można również zastosować do kolumn.
Praktyczny przykład zasady Laplace'a
Definiujemy DO3×3Co:
1. Zacznijmy od pierwszego elementu r11= 5. Przecieramy rzędy i kolumny, które tworzą11= 5. Pierwszym wyznacznikiem będą elementy, które pozostaną bez kraty gra mniej pomnożone przez a11=5.
2. Kontynuujemy od drugiego elementu pierwszego rzędu, czyli r12= 2. Powtarzamy proces: przecieramy wiersze i kolumny zawierające r12=2.
Dostosowujemy znak małoletniego:
Dodajemy drugi wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i tworzymy serię rozszerzeń w taki sposób, że:
3. Kontynuujemy od trzeciego elementu pierwszego rzędu, czyli r13= 3. Powtarzamy proces: przecieramy wiersz i kolumnę zawierające r13=3.
Dodajemy trzeci wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i rozszerzamy serię rozszerzeń w taki sposób, aby:
Wyznacznik macierzyR3×3 ma 15 lat.