Reguła Laplace'a - Co to jest, definicja i pojęcie

Reguła Laplace'a to metoda, która pozwala na szybkie obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej o wymiarze 3 × 3 lub większym za pomocą rekurencyjnego szeregu rozwinięć.

Innymi słowy, reguła Laplace'a rozkłada macierz początkową na macierze niższych wymiarów i dostosowuje jej znak na podstawie pozycji elementu w macierzy.

Ta metoda może być wykonana za pomocą wierszy lub kolumn.

Polecane artykuły: macierze, typologie macierzy i wyznacznik macierzy.

Wzór na regułę Laplace'a

Biorąc pod uwagę macierz Z_mxn dowolny wymiar mxn,gdzie m = n, rozszerza się względem i-tego rzędu, wtedy:

• re_ijjest wyznacznikiem uzyskanym przez wyeliminowanie i-tego wiersza i i-tej kolumny Z_mxn.

• M_ijczy ja, j-th mniej. Wyznacznik re_ijw funkcji M_ijnazywa się i, j-th kofaktormatrycy Z_mxn.
• do to ustawienie znaku pozycji.

Teoretyczny przykład reguły Laplace'a

Definiujemy DO_3×3 Co:

1. Zacznijmy od pierwszego elementu a₁₁. Przecieramy rzędy i kolumny, które tworzą₁₁. Pierwszym wyznacznikiem będą elementy, które pozostaną bez kraty gra mniej pomnożone przez a₁₁.

2. Kontynuujemy od drugiego elementu pierwszego rzędu, czyli do₁₂. Powtarzamy proces: przecieramy wiersze i kolumny, które zawierają₁₂.

Dostosowujemy znak małoletniego:

Dodajemy drugi wyznacznik mniejdo poprzedniego wyniku i tworzymy serię rozszerzeń w taki sposób, że:

3. Kontynuujemy od trzeciego elementu pierwszego rzędu, czyli do₁₃. Powtarzamy proces: przecieramy wiersz i kolumnę, które zawierają₁₃.

Dodajemy trzeci wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i rozszerzamy serię rozszerzeń w taki sposób, aby:

Ponieważ w pierwszym wierszu nie ma już elementów, zamykamy proces rekurencyjny. Obliczamy determinanty nieletni.

W ten sam sposób, w jaki zostały użyte elementy z pierwszego wiersza, tę metodę można również zastosować do kolumn.

Praktyczny przykład zasady Laplace'a

Definiujemy DO_3×3Co:

1. Zacznijmy od pierwszego elementu r₁₁= 5. Przecieramy rzędy i kolumny, które tworzą₁₁= 5. Pierwszym wyznacznikiem będą elementy, które pozostaną bez kraty gra mniej pomnożone przez a₁₁=5.

2. Kontynuujemy od drugiego elementu pierwszego rzędu, czyli r₁₂= 2. Powtarzamy proces: przecieramy wiersze i kolumny zawierające r₁₂=2.

Dostosowujemy znak małoletniego:

Dodajemy drugi wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i tworzymy serię rozszerzeń w taki sposób, że:

3. Kontynuujemy od trzeciego elementu pierwszego rzędu, czyli r₁₃= 3. Powtarzamy proces: przecieramy wiersz i kolumnę zawierające r₁₃=3.

Dodajemy trzeci wyznacznik mniej do poprzedniego wyniku i rozszerzamy serię rozszerzeń w taki sposób, aby:

Wyznacznik macierzyR_3×3 ma 15 lat.