Punkt przegięcia funkcji matematycznej to punkt, w którym wykres, który ją reprezentuje, zmienia swoją wklęsłość. Oznacza to, że przechodzi od wklęsłości do wypukłości lub odwrotnie.
Innymi słowy, punkt przegięcia to moment, w którym funkcja zmienia trend.
Aby uzyskać pomysł, zacznijmy od spojrzenia na to w reprezentacji graficznej, z grubsza:
Należy zauważyć, że funkcja może mieć więcej niż jeden punkt przegięcia lub wcale. Na przykład linia nie ma punktu przegięcia.
Zobaczmy na poniższym wykresie przykład funkcji z więcej niż jednym punktem przegięcia:
Również w kategoriach matematycznych punkt przegięcia oblicza się, ustawiając drugą pochodną funkcji równą zero. Zatem rozwiązujemy pierwiastek (lub pierwiastki) tego równania i nazwiemy je Xi.
Następnie zastępujemy Xi w trzeciej pochodnej funkcji. Jeśli wynik jest różny od zera, mamy do czynienia z punktem przegięcia.
Jeśli jednak wynik jest zerowy, to musimy wymieniać w kolejnych pochodnych, aż wartość tej pochodnej, czy to trzeciej, czwartej czy piątej, będzie różna od 0. Jeśli pochodna jest nieparzysta, jest to punkt przegięcia , ale jeśli nawet nie.
Przykład punktu zwrotnego
Następnie spójrzmy na przykład.
Załóżmy, że mamy następującą funkcję:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Następnie zastępujemy Xi w trzeciej pochodnej:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Ponieważ wynik jest różny od zera, znajdujemy się przed punktem przegięcia, gdy x jest równe -1,25, a y jest równe -2,1328, jak pokazano na poniższym wykresie.
W tym obserwuje się, że funkcja ma punkt przegięcia:
Spójrzmy teraz na inny przykład:
y = x4-54x2
y’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 i -3
Następnie zastępujemy dwa pierwiastki znajdujące się w trzeciej pochodnej:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Ponieważ wynik jest niezerowy, mamy dwa punkty przegięcia w (3,567) i (-3,567).
W celu uzupełnienia informacji zapraszamy do zapoznania się z artykułem dotyczącym fleksji, w którym omawiamy tę koncepcję w sposób bardziej ogólny:
Definicja przegięcia