Pochodna funkcji wykładniczej
Pochodna funkcji wykładniczej jest równa pochodnej wykładnika pomnożonej przez funkcję pierwotną i logarytm naturalny podstawy.
Oznacza to, że w kategoriach matematycznych mielibyśmy następującą formułę:
W powyższej funkcji z jest podstawą, a y jest funkcją od x, której pochodną można obliczyć, jak wyjaśniono w naszym artykule na temat pochodnej funkcji.
Musimy pamiętać, że pochodna jest funkcją matematyczną, która pozwala nam obliczyć tempo zmiany zmiennej (zależnej). Dzieje się tak, gdy zmiana jest zarejestrowana w innej zmiennej (która byłaby niezależną), która ma na nią wpływ.
Przypadki funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza przedstawia dwa szczególne przypadki:
- Gdy wykładnikiem jest x, pochodna tego wynosi 1. Dlatego pochodna funkcji wykładniczej jest równa tej samej funkcji razy logarytm naturalny podstawy, jak widać poniżej:
- Gdy podstawą jest stała e, jej logarytm naturalny wynosi 1. Dlatego pochodna funkcji wykładniczej byłaby równa pochodnej wykładnika pomnożonej przez funkcję pierwotną.
Przykłady pochodnej funkcji wykładniczej
Spójrzmy na kilka opracowanych przykładów funkcji wykładniczych:
Teraz drugi przykład nieco bardziej złożony:
Spójrzmy teraz na przykład, w którym wykładnik jest funkcją trygonometryczną:
