Główna przekątna matrycy kwadratowej to wyimaginowana linia prosta o ujemnym nachyleniu, która zaczyna się w lewym górnym rogu i kończy w prawym dolnym rogu matrycy.
Innymi słowy, główna przekątna to nachylona linia prosta, którą możemy narysować nad macierzą od pierwszego do ostatniego elementu.
Ponieważ główna przekątna nie jest podana przez macierz, mówimy, że jest urojona. Tak więc, aby uzyskać ukośną linię, będziemy musieli narysować ją fizycznie lub mentalnie na szczycie macierzy.
Polecane artykuły: matryca kwadratowa.
Reprezentacja głównej przekątnej
Biorąc pod uwagę macierz kwadratową Zkażdy:
Główna przekątna matrycy Z to jest:
Narysuj główną przekątną
Warunkiem znalezienia zarówno przekątnej głównej, jak i przekątnej drugorzędnej jest to, że macierz musi być macierzą kwadratową.
Jak możemy pamiętać, że główna przekątna zaczyna się w lewym górnym rogu, a nie w prawym dolnym rogu (przekątna drugorzędna)?
Cóż, na przykład możemy szukać odniesień w geometrii.
Jeśli spojrzymy na macierz Z, możemy zobaczyć, jak powstaje trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna (przekątna) jest główną przekątną macierzy. Graficznie:
Z części analitycznej możemy również pamiętać, że główna przekątna to linia prosta o ujemnym nachyleniu. Tak więc, aby mieć nachylenie ujemne, przekątna musi zaczynać się w lewym górnym rogu i kończyć w prawym dolnym rogu. Graficznie:
Po narysowaniu głównej przekątnej zobaczymy, że mamy dwa symetryczne trójkąty powyżej i poniżej przekątnej. Ten wynik to znak, że dobrze sobie poradziliśmy. Graficznie:
Aplikacje
Główna przekątna służy do uzyskania wyznacznika macierzy, rozkładu LU, rozkładu Choleskiego, reguły Sarrusa i innych metod.
Przykład teoretyczny
Znajdź główną przekątną następujących macierzy:
Rozwiązanie graficzne:
Rozwiązanie analityczne:
- Główna matryca przekątna DO: (2;28;1).
- Główna matryca przekątna b: (9;5).
- Główna matryca przekątna do: nie jest macierzą kwadratową i dlatego nie możemy znaleźć głównej przekątnej.
