Prawo wielkich liczb jest podstawowym twierdzeniem teorii prawdopodobieństwa, które wskazuje, że jeśli powtórzymy wiele razy (z tendencją do nieskończoności) ten sam eksperyment, częstość występowania określonego zdarzenia jest zwykle stała.
Oznacza to, że prawo dużych liczb wskazuje, że jeśli ten sam test jest powtarzany wielokrotnie (na przykład rzucanie monetą, rzucanie kołem ruletki itp.), to częstotliwość, z jaką pewne zdarzenie będzie się powtarzać (co przychodzi w górę głowy lub pieczęć, cyfra 3 wyjdzie na czarno itd.) zbliży się do stałej. To z kolei będzie prawdopodobieństwem wystąpienia tego zdarzenia.
Pochodzenie prawa wielkich liczb
Po raz pierwszy o prawie wielkich liczb wspomniał matematyk Gerolamo Cardamo, choć bez żadnego rygorystycznego dowodu. Później Jacob Bernoulli zdołał dokonać pełnej demonstracji w swoim dziele „Ars Conjectandi” w 1713 roku. W latach 30. XIX wieku matematyk Siméon Denis Poisson szczegółowo opisał prawo wielkich liczb, które doprowadziło do udoskonalenia teorii. Inni autorzy również wnieśli późniejszy wkład.
Przykład prawa wielkich liczb
Załóżmy następujący eksperyment: rzuć zwykłą kostką. Rozważmy teraz zdarzenie, w którym otrzymamy liczbę 1. Jak wiemy, prawdopodobieństwo pojawienia się liczby 1 wynosi 1/6 (kostka ma 6 ścian, jedna z nich to jedna).
Co mówi nam prawo wielkich liczb? Mówi nam, że gdy zwiększymy liczbę powtórzeń naszego eksperymentu (wykonamy więcej rzutów kostką), częstotliwość z jaką zdarzenie będzie się powtarzać (otrzymujemy 1) zbliży się do stałej, która będzie miała równą wartość do jego prawdopodobieństwa (1/6 lub 16,66%).
Możliwe, że w pierwszych 10 lub 20 uruchomieniach częstotliwość z jaką otrzymamy 1 nie będzie 16%, ale kolejny procent jak 5% lub 30%. Ale gdy robimy coraz więcej tonów (powiedzmy 10 000), częstotliwość pojawiania się 1 będzie bardzo bliska 16,66%.
Na poniższej grafice widzimy przykład prawdziwego eksperymentu, w którym kostką rzuca się wielokrotnie. Tutaj widzimy, jak zmienia się względna częstotliwość losowania określonej liczby.
Jak wskazuje prawo dużych liczb, w pierwszych startach częstotliwość jest niestabilna, ale wraz ze wzrostem liczby startów częstotliwość stabilizuje się na pewnej liczbie, co jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia (w tym przypadku liczby z 1 do 6, ponieważ jest to rzut kostką).
Błędna interpretacja prawa wielkich liczb
Wiele osób błędnie interpretuje prawo wielkich liczb, wierząc, że jedno wydarzenie będzie przeważać nad innym. Na przykład uważają, że skoro prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 1 na kostce powinno być zbliżone do 1/6, gdy liczba 1 nie pojawia się w pierwszych 2 lub 5 rzutach, jest bardzo prawdopodobne, że w Kolejny. To nieprawda, ponieważ prawo dużych liczb dotyczy tylko wielu powtórzeń, więc możemy spędzić cały dzień rzucając kostką i nie osiągać częstotliwości 1/6.
Rzut kostką jest niezależnym wydarzeniem i dlatego, gdy pojawi się pewna liczba, wynik ten nie ma wpływu na następny rzut. Dopiero po tysiącach powtórzeń będziemy w stanie zweryfikować, że istnieje prawo dużych liczb i że względna częstotliwość uzyskiwania liczby (w naszym przykładzie 1) będzie wynosić 1/6.
Błędna interpretacja teorii może prowadzić ludzi (zwłaszcza hazardzistów) do utraty pieniędzy i czasu.
Twierdzenie BayesaPrawdopodobieństwo częstotliwościCentralne twierdzenie graniczne