Transformacja liniowa macierzy to operacje liniowe poprzez macierze modyfikujące początkowy wymiar danego wektora.
Innymi słowy, możemy zmodyfikować wymiar wektora, mnożąc go przez dowolną macierz.
Przekształcenia liniowe są podstawą wektorów i wartości własnych macierzy, ponieważ zależą od siebie liniowo.
Polecane artykuły: operacje na macierzach, wektorach i wartościach własnych.
Matematycznie
Definiujemy macierzdo dowolny wymiar 3 × 2 pomnożony przez wektor wymiaru Vn = 2 tak, że V = (v1, v2).
Jakiego wymiaru będzie wektor wynikowy?
Wektor wynikający z iloczynu macierzydo3×2z wektoremV2×1będzie nowym wektorem V wymiaru 3.
Ta zmiana wymiaru wektora wynika z liniowej transformacji przez macierz do.
Praktyczny przykład
Biorąc pod uwagę macierz kwadratowąR o wymiarze 2 × 2 i wektorzeV o wymiarze 2.
Przekształcenie liniowe wymiaru wektoraV to jest:
gdzie początkowy wymiar wektora V było 2 × 1, a teraz ostateczny wymiar wektora Zobaczysz3 × 1. Tę zmianę wymiaru uzyskuje się poprzez pomnożenie macierzy R.
Czy te przekształcenia liniowe można przedstawić graficznie? Ależ oczywiście!
Będziemy reprezentować wektor wynikowy V 'w płaszczyźnie.
Następnie:
V = (2,1)
V’= (6,4)
Graficznie
Wektory własne z wykorzystaniem reprezentacji graficznej
Jak na podstawie samego wykresu możemy stwierdzić, że wektor jest wektorem własnym danej macierzy?
Definiujemy macierzre o wymiarze 2 × 2:
Czy wektory v1= (1,0) i v2= (2,4) wektory własne macierzy re?
Proces
1. Zacznijmy od pierwszego wektora v1. Wykonujemy poprzednią transformację liniową:
Więc jeśli wektor v1 jest wektorem własnym macierzy re, wypadkowy wektor v1'I wektor v1powinny należeć do tej samej linii.
Reprezentujemy v1 = (1,0) i v1’ = (3,0).
Ponieważ zarówno v1jako V1„Należą do tej samej linii, v1 jest wektorem własnym macierzy re.
Matematycznie istnieje stałah(wartość własna) tak, że:
2. Kontynuujemy z drugim wektorem v2. Powtarzamy poprzednią transformację liniową:
Więc jeśli wektor v2 jest wektorem własnym macierzy re, wypadkowy wektor v2'I wektor v2 powinny należeć do tej samej linii (jak na powyższym wykresie).
Reprezentujemy v2 = (2,4) i v2’ = (2,24).
Od v2 i V2„Nie należy do tej samej linii, v2 nie jest wektorem własnym macierzy re.
Matematycznie nie ma stałejh(wartość własna) tak, że:
