Model Vasicka jest jednoczynnikowym modelem równowagi stóp procentowych opartym na geometrycznym procesie Browna, który uwzględnia średnią rewersję i strukturę czasową stóp procentowych.
Innymi słowy, model Vasicka służy do przewidywania długoterminowych stóp procentowych poprzez symulację krótkoterminowych stóp procentowych. Dodatkowo uwzględnia, że stopy procentowe są różne w różnych okresach czasu (struktura czasowa stóp procentowych).
Modele równowagi stóp procentowych wykorzystują krótkoterminowe stopy procentowe do obliczania przyszłych stóp procentowych z uwzględnieniem struktury terminowej stóp procentowych.
Do skonstruowania krzywej dochodowości potrzebujemy krótkoterminowych stóp procentowych i parametrów modelu. Mając krótkoterminowe stopy procentowe i parametry, możemy obliczyć długoterminowe stopy procentowe.
Tak więc, aby obliczyć przyszłe ceny obligacji zerokuponowych, potrzebujemy krótkoterminowych stóp procentowych zerokuponowych. W ten sposób możemy również zbudować krzywą lub strukturę czasową zerokuponowych stóp procentowych. Gdy mamy krzywą, określimy ewolucję długoterminowych stóp procentowych, biorąc pod uwagę krótkoterminowe stopy procentowe.
Formuła modelu Vasicek: Cena obligacji zerokuponowych.
Rozwiązanie analityczne umożliwiające znalezienie ceny obligacji zerokuponowej, która płaci 1 € w terminie zapadalności (T) w dowolnym okresie (t) i przy krótkoterminowej stopie procentowej (r (t)).
Nie panikować!
Potrzebujemy tylko:
- Okres czasu, w którym chcemy poznać stopy procentowe, czyli T.
- Moment czasu, w którym jesteśmy teraz lub moment wyjścia, którego pragniemy, czyli t.
- Krzywa oprocentowania krótkoterminowego, czyli r (T) lub rT . Gdybyśmy chcieli wyrazić stopy procentowe w okresie początkowym, użylibyśmy r (T) lub rT.
- W tych wzorach będziemy traktować parametry a, b i s jako stałe w czasie.
- Odchylenie standardowe, s.
Aby obliczyć cenę obligacji zerokuponowej, która płaci 1 € w terminie zapadalności (T) w dowolnym okresie czasu (t) wystarczy podać wartości parametrom a, b i s oraz zasymulować krótkoterminowe stopy procentowe (r(t)).
Reprezentacja modelu Vasicek: zerokuponowa cena obligacji
P (t, T) reprezentuje cenę obligacji od czasu t do T.
Czyli… Czy ceny obligacji zawsze będą takie same?
Wcale nie, jak powiedzieliśmy na początku, stopy procentowe zależą od procesu geometrycznego Browna, a zatem implikuje obecność składnika losowego, N (0,1). Tak więc za każdym razem, gdy obliczamy powyższe wzory, stopy krótkoterminowe będą się zmieniać, podobnie jak długoterminowe stopy procentowe, ceny obligacji i ich reprezentacja.
Użyjemy następujących wzorów, aby znaleźć r (T) i R (T).
Formuła modelu Vasicka: krótkoterminowe stopy procentowe
Wzór na krótkoterminową stopę procentową (rT):
Formuła długoterminowej stopy procentowej (RT):
Reprezentacja modelu Vasicka: krzywa stóp procentowych
