Rozkład Bernoulliego jest modelem teoretycznym używanym do reprezentowania dyskretnej zmiennej losowej, która może zakończyć się tylko dwoma wzajemnie wykluczającymi się wynikami.
Polecane artykuły: przestrzeń próbki, rozkład Bernoulliego i prawo Laplace'a.
Przykład Bernoulliego
Wychodzimy z założenia, że jesteśmy wielkimi fanami kolarza w zawodach kolarskich, w których rywalizuje tylko dwóch zawodników. Chcemy się założyć, że ten broker wygra.
Jeśli więc wygrasz, będzie to wynik „sukcesu”, a jeśli przegrasz, będzie to wynik „braku sukcesu”. Schematycznie:
Traktowaliśmy ten przykład jako przypadek dychotomiczny. Oznacza to, że są tylko dwa możliwe wyniki (aby uprościć sytuację). W książkach teoretycznych znajdujemy typowy przykład rzutu monetą nieoszukaną, polegającego na zdobywaniu orłów lub reszek. Ponieważ nie ma już możliwych wyników, uzyskanie parametru p staje się elementarne.
W naszym przykładzie brokera mogliśmy również uznać za „nieudane” uzyskanie jakiejkolwiek pozycji innej niż pierwsze miejsce. Wtedy zmieni się parametr p i będzie to liczba razy, kiedy broker może zostać najpierw podzielona przez liczbę całkowitych pozycji. Schematycznie:
Tutaj parametr p nie wydaje się na pierwszy rzut oka zbyt oczywisty, ale jest to tylko kwestia zastosowania prawa Laplace'a.
Zakładamy, że jest tylko 10 pozycji, na których biegacz może zdobyć tylko jedną z nich w biegu. Następnie,
Ćwiczenie
Oblicz funkcję rozkładu biegaczy w zawodach na 10 biegaczy.
Funkcja rozkładu Bernoulliego
- Podejście.
Definiujemy dwie wartości, które może przyjąć zmienna losowa podążająca za rozkładem Bernoulliego.
Z = 1 jeśli biegacz wygra zawody = 1 miejsce = SUKCES.
Z = 0 jeśli biegacz przegra zawody = nie 1 miejsce = BRAK SUKCESU.
- Przypisywanie i obliczanie prawdopodobieństw.
Po zdefiniowaniu wartości Z przypisujemy prawdopodobieństwa wyniku eksperymentu:
W powyższym przykładzie obliczyliśmy już prawdopodobieństwa za pomocą prawa Laplace'a. Wynik był taki, że p = 1/10 i (1-p) = 0,9.
- Obliczanie funkcji rozkładu.
Teraz wystarczy podstawić poprzednie zmienne we wzorze funkcji rozkładu.
Widzimy, że poprzednie wyrażenia można również wyrazić w ten sposób:
Widzimy, że w taki czy inny sposób prawdopodobieństwo sukcesu, czyli prawdopodobieństwo, że biegacz wygra zawody zawsze będzie wynosić p = 1/10 i prawdopodobieństwo niepowodzenia, czyli prawdopodobieństwo, że przegra. konkurencja również zawsze będzie (1-p) = 9/10.
Tak więc biegacz podąża za rozkładem Bernoulliego z prawdopodobieństwem p = 0,1:
