Liczby zespolone to kombinacje liczb rzeczywistych i urojonych.
Innymi słowy, liczby zespolone to liczby, które mają część rzeczywistą i część urojoną.
Schemat liczb zespolonych
Prostym sposobem na zapamiętanie, jak wyglądają liczby zespolone, jest zapamiętanie następującego schematu:
Tak więc wiedząc, że w liczbach zespolonych znajdujemy liczby rzeczywiste i urojone, łatwiej jest zrozumieć, że liczby zespolone są kombinacjami liczb rzeczywistych i urojonych. Możemy je łączyć w dowolny sposób!
Kiedy myślimy o liczbach zespolonych, powinniśmy myśleć o przymiotniku „zupełny”, a nie o przymiotniku „skomplikowany”. Kompletna w tym sensie, że obejmuje oba światy: realny i urojony.
Formuła liczby zespolonej
Najczęstszą reprezentacją liczby zespolonej jest suma części rzeczywistej i części urojonej. W tym samym czasie część urojona jest podzielona na część urojoną i jednostkę urojoną.
Mając liczbę rzeczywistą i liczbę urojoną, możemy stworzyć następującą kombinację:
h + ui
Gdzie:
- h to liczba rzeczywista.
- ui jest liczbą urojoną.
Dokładniej:
- h to liczba rzeczywista.
- lub to jest część urojona.
- ja jest to wyimaginowana jednostka.
Czyli za każdym razem, gdy znajdujemy kombinację liczb i widzimy „i”, oznacza to, że jest to liczba zespolona?
To pytanie jest trudne, ponieważ wszystkie znane nam liczby są zawarte w zbiorze liczb zespolonych. Jeśli spojrzysz na powyższy diagram, zobaczysz, że liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną. Prawdą jest, że gdy znajdziemy liczbę rzeczywistą, nie widzimy żadnego „i”, tak byłoby w przypadku liczby zespolonej, w której część urojona wynosi zero.
Różne formy liczb zespolonych, które możemy znaleźć, są następujące:
| Liczba zespolona | Prawdziwy numer | Liczba urojona | |
| Liczba zespolona | h + ui | h | ui |
| Czysto rzeczywista liczba zespolona | h | h | 0 |
| Czysto urojona liczba zespolona | ui | 0 | ui |
- Czysto rzeczywista liczba zespolona: Jest to liczba zespolona, w której część urojona wynosi 0. Innymi słowy, dowolna liczba od minus nieskończoności do plus nieskończoności jest liczbą rzeczywistą.
- Czysto urojona liczba zespolona: Jest to liczba zespolona, której część rzeczywista wynosi 0. Innymi słowy, jest to liczba urojona, dowolna liczba rzeczywista, obok której znajduje się „i”.
Reprezentacja
Chociaż liczby zespolone są zapisywane jako kombinacje liczb rzeczywistych i urojonych, ich graficzna reprezentacja również będzie przebiegać według tego samego wzorca.
Ten wykres nazywa się płaszczyzną zespoloną, ponieważ przedstawia zarówno liczby rzeczywiste, jak i urojone, innymi słowy liczby zespolone.
Aplikacja
Liczby zespolone są szeroko stosowane w matematyce, zwłaszcza w dziedzinie fraktali.
Przykład liczb zespolonych
Pomyśl o przykładach liczb, które mogą uzupełnić poniższą tabelę:
| Liczba zespolona | Prawdziwy numer | Liczba urojona | |
| Liczba zespolona | 3 + 4i | 3 | 4i |
| Czysto rzeczywista liczba zespolona | 3 | 3 | 0 |
| Czysto urojona liczba zespolona | 4i | 0 | 4i |
Należy jednak zauważyć, że tabelę tę można wypełnić w inny sposób i innymi numerami. Oczywiście zawsze zgodne ze strukturą, która została szczegółowo opisana na początku i w której wyjaśniono jej formułę.
Liczby niewymierne