Geometria fraktalna - co to jest, definicja i pojęcie

Geometria fraktalna to ta gałąź geometrii, która bada fraktale. Są to obiekty złożone, o strukturze, która powtarza się, gdy obserwujemy ją w różnych skalach.

Innymi słowy, fraktale składają się z części, które są podobne do całości i są nieregularnymi strukturami. Pomyślmy o brokułowej głowie, która po podzieleniu dzieli się na kilka mniejszych brokułów.

Geometria fraktalna zrodziła się z potrzeby lepszego zbliżenia się do rzeczywistości, ponieważ geometria płaska i geometria figur i ciał studiujących przestrzeń, którą bardzo trudno znaleźć w naturze.

Weź pod uwagę, że góry nie są stożkami i nawet piramidy w Egipcie, jeśli przyjrzymy się im bliżej, będą miały pewne nieregularności na powierzchni. Te niedoskonałości nazywane są jakością chropowatości i jest to cecha, która dodaje geometrię fraktalną do obiektów, które nie mają już tylko obwodu, powierzchni i objętości.

Pochodzenie geometrii fraktalnej

Pochodzenie geometrii fraktalnej zapoczątkował matematyk Benoit Mandelbrot, a także jego największe dzieło literackie: „Fraktal Geometry of Nature”, opublikowane w 1982 roku.

Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego słowa „fractus”, co oznacza złamany lub złamany, i zostało ukute przez Mandelbrota w 1975 roku.

Warto wspomnieć, że chociaż Mandelbrot sformalizował badanie ekonomii fraktali, nie był pierwszym, który zauważył istnienie fraktali w przyrodzie. Na przykład, jeśli spojrzymy na prace znanego japońskiego malarza Katsushika Hokusai, zobaczymy, że ta koncepcja została zastosowana (o czym wspominał sam Mandelbrot w wywiadzie). Na przykład na obrazie „Wielka fala” obserwujemy, jak wewnątrz fali znajdują się inne mniejsze fale.

Charakterystyka fraktala

Główne cechy fraktala są następujące:

• Samopodobieństwo: Odnosi się do tego, o czym już wspomnieliśmy. Jeśli przyjrzymy się fragmentowi fraktala w większej skali (bliżej), będzie on wyglądał tak samo jak cały obiekt. Oznacza to, że część jest podobna do całości, chociaż nie zawsze jest to do końca prawdą. Na przykład wyobraźmy sobie romb złożony z wielu małych rombów. Chociaż wielkość tych rombów nieco się różni, byłby to fraktal.
• Wymiar fraktalny nie jest równy wymiarowi topologicznemu: Aby wyjaśnić wymiar topologiczny, wyobraźmy sobie, że mamy płaszczyznę podzieloną na siatki, jak siatka. Więc rysuję linię, która przechodzi przez 2 siatki. Gdybym podzielił wszystkie siatki oczek na dwie, linia przeszłaby przez 4 siatki. Oznacza to, że jest mnożony przez 2, co jest równe współczynnikowi redukcji (2) podniesionemu do 1 (2 = 2¹), którą wartą redundancji jest liczba wymiarów linii. Teraz, jeśli mamy wielokąt, dwuwymiarową figurę, dzieje się coś podobnego. Na przykład, jeśli mamy kwadrat, który obejmuje cztery siatki i ponownie zastosujemy współczynnik redukcji 2, kwadrat będzie obejmował 16 siatek. Oznacza to, że liczba siatek (4) jest mnożona przez 4, co daje 2 podniesione do 2 (2 = 2²), wykładnikiem jest liczba wymiarów do kwadratu. Jednak wszystkie powyższe nie są prawdziwe we fraktalach.
• W żadnym momencie nie można ich odróżnić: Oznacza to, w kategoriach matematycznych, że pochodna reprezentowanej funkcji nie może być obliczona. W ujęciu wizualnym oznacza to, że wykres nie jest ciągły, ale ma szczyty, więc nie jest możliwe wyprowadzenie.

Zastosowanie geometrii fraktalnej

Geometrię fraktalną można zastosować w różnych dziedzinach. Na przykład w 1940 roku Lewis Fry Richardson zaobserwował, że różne granice między krajem a krajem zmieniają się w zależności od skali pomiaru. Oznacza to, że jeśli zmierzymy kontur geograficzny, wynik będzie się różnił w zależności od długości używanej linijki. Stanowiło to odniesienie dla Mandelbrota w jego artykule z 1967 r., opublikowanym w czasopiśmie Science: „Jak długie jest wybrzeże Wielkiej Brytanii?”

Można to wyjaśnić, jeśli weźmiemy pod uwagę, że terytoria geograficzne są fraktalami i gdy widzimy je w większej skali, widzimy więcej nieprawidłowości.

Innym zastosowaniem geometrii fraktalnej jest analiza ruchów sejsmicznych i ruchów na giełdzie.

Ponadto musimy przyznać, że fraktale służyły jako inspiracja artystom takim jak wspomniany Hokusa, mamy też przypadek Jacksona Pollocka.