Iloczyn skalarny dwóch wektorów zgodnie z jego definicją geometryczną jest pomnożeniem ich modułów przez cosinus kąta utworzonego przez oba wektory.
Innymi słowy, iloczyn skalarny dwóch wektorów to iloczyn modułów obu wektorów i cosinusa kąta.
Formuła produktu skalarnego
Biorąc pod uwagę dwa wektory, iloczyn skalarny oblicza się w następujący sposób:
Nazywa się to iloczynem skalarnym, ponieważ wynik modułu zawsze będzie skalarem, w taki sam sposób, w jaki będzie również cosinus kąta. Wynikiem tego mnożenia będzie liczba, która wyraża wielkość i nie ma kierunku. Innymi słowy, wynik iloczynu skalarnego będzie liczbą, a nie wektorem. Dlatego wyrażmy wynikową liczbę jako dowolną liczbę, a nie jako wektor.
Aby poznać wielkość każdego wektora, obliczany jest moduł. Tak więc, jeśli pomnożymy wartość jednego z wektorów (v) przez wartość drugiego wektora (a) przez cosinus kąta, który tworzą oba wektory, będziemy wiedzieć, ile w sumie mierzą te dwa wektory.
Moduł wektora (v) pomnożony przez cosinus kąta jest również znany jako rzut wektora v na wektor a.
Zobacz inny sposób obliczania iloczynu skalarnego dwóch wektorów
Proces
- Oblicz moduły wektorów.
Biorąc pod uwagę dowolny wektor trzech wymiarów,
Wzór na obliczenie modułu wektora to:
Każdy indeks dolny wektora wskazuje wymiary, w tym przypadku wektor (a) jest wektorem trójwymiarowym, ponieważ ma trzy współrzędne.
2. Oblicz cosinus kąta.
Przykład iloczynu skalarnego dwóch wektorów
Oblicz iloczyn skalarny następujących wektorów trójwymiarowych, wiedząc, że tworzą one kąt 45 stopni.
Aby obliczyć iloczyn skalarny, musimy najpierw obliczyć moduł wektorów:
Gdy już obliczyliśmy moduły dwóch wektorów i znamy kąt, wystarczy je pomnożyć:
Dlatego iloczyn skalarny poprzednich wektorów wynosi 1,7320 jednostek.
Wykres
Poniższe wektory wyglądałyby tak, jak na trójwymiarowym wykresie wyglądałyby następująco:
Dla wektora (c) widzimy, że składowa z wynosi zero, a więc będzie równoległa do osi odciętej. Zamiast tego składnik z wektora (b) jest dodatni, więc możemy zobaczyć, jak nachyla się w górę. Oba wektory znajdują się w kwadrancie pozytywów pod względem składowej, ponieważ jest ona dodatnia i taka sama.