Wektory prostopadłe do płaszczyzny to dwa wektory, które tworzą kąt 90 stopni, a ich iloczyn wektorowy wynosi zero.
Innymi słowy, dwa wektory będą prostopadłe, gdy tworzą kąt prosty, a zatem ich iloczyn wektorowy będzie równy zero.
Aby obliczyć, czy jeden wektor jest prostopadły do drugiego, możemy użyć wzoru na iloczyn skalarny z geometrycznego punktu widzenia. To znaczy, biorąc pod uwagę, że cosinus kąta, który tworzą, będzie równy zero. Dlatego, aby wiedzieć, który wektor jest prostopadły do drugiego, musielibyśmy tylko ustawić iloczyn wektorowy równy 0 i znaleźć współrzędne tajemniczego wektora prostopadłego.
Wzór dwóch prostopadłych wektorów
Główną ideą prostopadłości dwóch wektorów jest to, że ich iloczyn wektorowy wynosi 0.
Biorąc pod uwagę, że przy danych dowolnych 2 prostopadłych wektorach ich iloczyn wektorowy będzie:
Wyrażenie brzmi: „wektor do jest prostopadła do wektora b”.
Powyższy wzór możemy wyrazić we współrzędnych:
Wykres dwóch prostopadłych wektorów
Poprzednie wektory reprezentowane na płaszczyźnie miałyby następującą postać:
Gdzie możemy wyodrębnić następujące informacje:
Wektor prostopadły do płaszczyzny jest znany jako wektor normalny i jest oznaczony przez a nietak, że:
Demonstracja
Możemy w kilku krokach udowodnić warunek, że iloczyn dwóch prostopadłych wektorów wynosi zero. Dlatego musimy tylko zapamiętać wzór iloczynu poprzecznego z geometrycznego punktu widzenia.
- Napisz wzór na iloczyn wektorowy z geometrycznego punktu widzenia:
2. Wiemy, że dwa prostopadłe wektory tworzą kąt 90 stopni. Czyli alfa = 90, tak że:
3. Następnie obliczamy cosinus 90:
4. Widzimy, że mnożąc cosinus 90 przez iloczyn modułów, eliminujemy wszystko, ponieważ mnożą się przez 0.
5. Na koniec warunek będzie następujący:
Przykład
Wyraź równanie w postaci dowolnego wektora prostopadłego do wektora v.
W tym celu definiujemy wektor p dowolne i zostawiamy ich współrzędne jako nieznane, ponieważ je znamy.
Stosujemy więc formułę produktu wektorowego:
Na koniec wyrażamy iloczyn wektorowy we współrzędnych:
Rozwiązujemy poprzednie równanie:
To byłoby równanie w funkcji wektora p który byłby prostopadły do wektora v.
