Odchylenie standardowe lub standardowe

Odchylenie standardowe lub odchylenie standardowe to miara, która dostarcza informacji o średnim rozproszeniu zmiennej. Odchylenie standardowe jest zawsze większe lub równe zero.

Aby zrozumieć tę koncepcję, musimy przeanalizować 2 podstawowe pojęcia.

• Oczekiwanie matematyczne, wartość oczekiwana lub średnia: Jest to średnia z naszych serii danych.
• Odchylenie: Odchylenie to separacja, która istnieje między dowolną wartością szeregu a średnią.

Teraz, rozumiejąc te dwa pojęcia, odchylenie standardowe zostanie obliczone podobnie do średniej. Ale przyjmowanie odchyleń jako wartości. I choć to rozumowanie jest intuicyjne i logiczne, ma wadę, którą sprawdzimy na poniższym wykresie.

Na poprzednim obrazku mamy 6 obserwacji, to znaczy N = 6. Średnia obserwacji jest reprezentowana przez czarną linię znajdującą się w środku wykresu i wynosi 3. Rozumiemy przez odchylenie, różnicę, która istnieje między dowolnymi obserwacji i czarnej linii. Mamy więc 6 odchyleń.

1. Odchylenie -> (2-3) = -1
2. Odchylenie -> (4-3) = 1
3. Odchylenie -> (2-3) = -1
4. Odchylenie -> (4-3) = 1
5. Odchylenie -> (2-3) = -1
6. Odchylenie -> (4-3) = 1

Jak widzimy, jeśli dodamy 6 odchyleń i podzielimy przez N (6 obserwacji), wynik jest zerowy. Logika polegałaby na tym, że średnie odchylenie wynosiło 1. Ale matematyczną charakterystyką średniej w odniesieniu do wartości, które ją tworzą, jest właśnie to, że suma odchyleń wynosi zero. Jak to naprawić? Podnoszenie odchyleń do kwadratu

Wzory do obliczania odchylenia standardowego

Pierwszym z nich jest podniesienie do kwadratu odchyleń, podzielenie przez całkowitą liczbę obserwacji i wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego, aby cofnąć do kwadratu, tak, że:

Ewentualnie istniałby inny sposób obliczenia tego. Byłaby to średnia z sumy bezwzględnych wartości odchyleń. Oznacza to, że zastosuj następującą formułę:

Jednak ta formuła nie jest alternatywą dla odchylenia standardowego, ponieważ daje różne wyniki. W rzeczywistości powyższy wzór jest odchyleniem od średniej. Odchylenie standardowe lub standardowe i odchylenie od średniej mają podobieństwa, ale nie są takie same. Ta ostatnia forma jest znana jako odchylenie średnie.

Przykład obliczenia odchylenia standardowego

Sprawdzimy, jak dla którejkolwiek z dwóch przedstawionych formuł wynik odchylenia standardowego lub odchylenia średniego jest taki sam.

Zgodnie z formułą wariancji (pierwiastek kwadratowy):

Według wzoru na wartość bezwzględną:

Tak jak dyktowała intuicyjna kalkulacja. Średnie odchylenie wynosi 1. Ale czy nie powiedzieliśmy, że wzór na wartość bezwzględną i odchylenie standardowe dały różne wartości? Tak, ale jest wyjątek. Jedynym przypadkiem, w którym odchylenie standardowe i odchylenie od średniej dają ten sam wynik, jest przypadek, w którym wszystkie odchylenia są równe 1.

Związek odchylenia standardowego z wariancją

Krótko mówiąc, wariancja to nic innego jak kwadrat odchylenia standardowego. Lub co sprowadza się do tego samego, odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Są one powiązane w następujący sposób:

Po tym obrazie widać wyraźnie, że cała formuła zawarta w pierwiastku kwadratowym jest wariancją. Powodem, dla którego musisz zrozumieć, że ta część jest znana jako wariancja, jest to, że jest używana w innych formułach do obliczania innych miar. Tak więc, chociaż odchylenie standardowe jest bardziej intuicyjne w interpretacji wyników, konieczne jest obliczenie wariancji.