Odległość między dwoma punktami wymiaru R w przestrzeni jest zastosowaniem pierwiastka kwadratowego do wektora utworzonego przez te uporządkowane punkty.
Innymi słowy, odległość między dwoma punktami w przestrzeni jest modułem wektora utworzonego przez te punkty.
Odległość między dwoma punktami to nic innego jak moduł wektora utworzonego przez dane punkty. Po obliczeniu modułu wektora będziemy już mieli odległość między dwoma punktami.
Formuła
Biorąc pod uwagę następujące dwa punkty:
Wtedy odległość między tymi dwoma punktami będzie modułem wektora, który tworzą:
Dlatego modułem tego wektora będzie odległość między tymi dwoma punktami:
Długość korzenia będzie zależeć od liczby wymiarów, które mają punkty. Jeśli są tylko punktami dwuwymiarowymi, w pierwiastku będą tylko dwa wyrazy. Z drugiej strony, jeśli punkty mają 6 wymiarów, to w korzeniu będzie 6 elementów.
Mówi się, że punkty muszą być uporządkowane, ponieważ w wektorach, podobnie jak w macierzach, kolejność czynników ma znaczenie i jest kluczowa dla prawidłowego rozwiązania problemu. Wektor przechodzący z punktu B do punktu C nie jest tym samym, co inny wektor przechodzący z punktu C do punktu B.
Schematycznie:
Tym, co dzielą dwa poprzednie wektory, jest odległość: zarówno wektor BC, jak i wektor CB zachowują tę samą odległość między swoimi punktami. Innymi słowy, mają ten sam moduł.
Dzieje się tak, ponieważ różnica tych dwóch wektorów jest tylko znakiem ich współrzędnych. Ponieważ moduł obejmuje tworzenie kwadratu współrzędnych wektora, daje taki sam efekt, jak gdybyśmy zastosowali wartość bezwzględną. W rzeczywistości jest to powód, dla którego wskazujemy moduł wektora za pomocą dwóch równoległych linii:
Następnie stosuje się korzeń, aby usunąć efekt kwadratu składowych i powrócić do tych samych jednostek.
Odległość w geometrii analitycznej i w rzeczywistości
Kiedy musimy obliczyć odległości w geometrii analitycznej, możemy pomóc sobie prawdziwymi przykładami. Na przykład, jeśli zostaniemy poproszeni o obliczenie odległości między dwoma punktami, jak w tym przypadku, możemy sobie wyobrazić siebie jako punkt początkowy (punkt B), a obiekt jako punkt końcowy (punkt C). Możemy więc zmierzyć tę odległość, odejmując wartość bezwzględną między jednym punktem a drugim. Innymi słowy, oblicz moduł.
Zobaczymy, że od naszej pozycji do obiektu i od obiektu do nas będzie ta sama odległość. Ponadto ta odległość zawsze będzie dodatnia, niezależnie od tego, czy jest równa 0, czy większa. Może być tak, że trzymamy przedmiot, a zatem odległość wynosi 0, lub że obiektyw jest daleko, a zatem odległość dodatnia.
Przykład odległości między dwoma punktami
Oblicz odległość między następującymi punktami:
