Wektory liniowo zależne

Dwa wektory zależne liniowo to dwa wektory, które nie mogą się łączyć liniowo i dlatego nie mogą tworzyć bazy na płaszczyźnie.

Innymi słowy, dwa wektory są zależne liniowo, gdy nie możemy zapisać ich jako kombinacji liniowej i dlatego nie będą mogły tworzyć bazy. Liniowa kombinacja wektorów tworzy równanie, w którym pojawiają się dwa wektory i dwie liczby rzeczywiste.

Formuła

Biorąc pod uwagę następujące wektory i dowolne liczby rzeczywiste:

Możesz utworzyć liniową kombinację obu, wprowadzając dwie liczby rzeczywiste. Gdzie lambda Tak mu są to liczby rzeczywiste, które wskazują wagę każdego wektora.

Tak więc kombinacja liniowa byłaby:

Ta kombinacja liniowa może być wyrażona jako inny wektor, na przykład w:

Tak więc przy poprzednim wyrażeniu mówimy, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów do Tak v.

Gdy znajdziemy liniowe kombinacje wektorów i żadne liczby nie pojawiają się przed wektorami, to znaczy parametry lambda Tak mu, oznacza to, że są 1.

Tak więc, jeśli dwa wektory są liniowo zależne, oznacza to, że nie możemy wyrazić ich jako liniowej kombinacji samych siebie:

W geometrii analitycznej nazywa się ją również dwoma wektorami proporcjonalnymi.

Reprezentacja

Jak wyglądają dwa wektory zależne liniowo?

Po pierwsze, reprezentujemy wektory osobno, a po drugie, reprezentujemy wektory na tej samej płaszczyźnie:

Przykład równoległościanu

Zakładamy, że mamy trzy wektory i chcemy je wyrazić jako kombinację liniową. Wiemy również, że każdy wektor pochodzi z tego samego wierzchołka i stanowi odciętą tego wierzchołka. Figura geometryczna jest równoległościanem.

Ponieważ informują nas, że figura geometryczna utworzona przez te wektory jest odciętą równoległościanu, wektory wyznaczają powierzchnie figury:

Trzy wektory:

Skąd możemy wiedzieć, czy wektory są liniowo zależne, jeśli nie dostarczają nam informacji o swoich współrzędnych?

Cóż, używając logiki. Gdyby wektory były zależne liniowo, wszystkie ściany równoległościanu załamałyby się. Innymi słowy, byłyby takie same.

Dlatego poprzednie wektory nie byłyby zależne liniowo, ponieważ nie mogły tworzyć równoległościanu.