Macierz Kwadratowa Forma - Co to jest, definicja i pojęcie

Macierzowa forma kwadratowa jest iloczynem iloczynu wektora rzędu n z dowolną macierzą kwadratową przez transponowany wektor rzędu n.

Innymi słowy, forma kwadratowa macierzy jest kombinacją liniową macierzy kwadratowej, wektora rzędu n i transpozycji tego wektora.

Polecany artykuł: operacje na macierzach.

Formuła macierzy kwadratowej

Biorąc pod uwagę macierz kwadratową Z rzędu n i wektora h o wymiarach n, możemy zapisać wyrażenie zwane kwadratową formą postaci:

Wynikiem formy kwadratowej będzie zawsze skalar, czyli pojedyncza liczba, a nie macierz.

Aplikacje

Macierzowa forma kwadratowa służy do określenia stopnia dodatniości i ujemności zdefiniowanych macierzy. W zależności od wartości wektora h wartość formy kwadratowej będzie wynosić zero (0), dodatnie lub ujemne.

Po uzyskaniu formy kwadratowej możemy powiedzieć, że „zdefiniowaliśmy” macierz. Możemy więc mówić o określonej macierzy. Ta macierz może być dodatnio określona, ​​dodatnia półokreślona, ​​ujemna określona i ujemna półokreślona.

Praktyczny przykład

Znalezienie kwadratowej postaci macierzy kwadratowej Z biorąc pod uwagę wektor h:

Proces

Najpierw transponujemy wektor h.

Następnie stosujemy wzór formy kwadratowej.

Jak powiedzieliśmy wcześniej, wynikiem formy kwadratowej będzie zawsze pojedyncza liczba. W tym przypadku jest to liczba ściśle dodatnia.

Ale… Jak to możliwe, że wynikiem jest konkretna liczba, a nie macierz, skoro mnożymy macierze?

Zmniejszenie wymiaru macierzy z mnożenia następuje, ponieważ mnożymy macierze, które mają tę samą liczbę kolumn i wierszy.

Demonstracja:

Z produktu matrycy Z a z transponowanego wektora h pozostaje wektor o wymiarze 3 × 1. W ten sam sposób iloczyn wektora wynikowego i wektora h pozostaje macierzą o wymiarze 1 × 1. Macierz o wymiarze 1 × 1 jest skalarem.

Jeśli więc obliczymy kwadratową postać macierzy i otrzymamy macierz o wymiarze większym niż 1 × 1 (otrzymujemy inny wynik niż określona liczba), będzie to oznaczać, że popełniliśmy błąd w jakimś kroku i że wynik jest błędny.