Algebra zbiorów - Co to jest, definicja i pojęcie

Algebra zbiorów to obszar nauki, w ramach matematyki i logiki, skupiony na operacjach, które można wykonać między zbiorami.

Algebra mnogości jest częścią tego, co znamy jako teorię mnogości.

Należy pamiętać, że zestaw to grupowanie elementów różnego rodzaju, takich jak m.in. litery, cyfry, symbole, funkcje, figury geometryczne.

Ustaw operacje

Główne operacje na zestawach to:

• Unia: Związek dwóch lub więcej zestawów zawiera wszystkie elementy, które należą do co najmniej jednego z tych zestawów. Jest to oznaczone literą U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Skrzyżowanie: Przecięcie dwóch lub więcej zestawów zawiera elementy, które te zestawy są wspólne. Wskazuje na to odwrócona litera U (∩). Przykład:

A = (a, r, t, ja, c, o)

B = (i, n, d, ja, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Różnica: Różnica jednego zestawu względem drugiego jest równa elementom pierwszego zestawu minus elementy drugiego. Jest to oznaczone symbolem lub -. Patrząc inaczej, x ∈ a A B, jeśli x ∈ A, ale x ∉ B. Przykład:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Komplement: Uzupełnienie zbioru obejmuje wszystkie elementy, które nie są zawarte w tym zbiorze (ale należą do innego uniwersalnego zbioru odniesienia). Jest to oznaczone indeksem górnym C. Przykład:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universe) = Wszystkie wielokrotności 3, które są całkowitymi liczbami naturalnymi mniejszymi niż 30.

DO^do=(6,21,24,27)

• Różnica symetryczna: Symetryczna różnica dwóch zestawów obejmuje wszystkie elementy, które znajdują się w jednym lub drugim, ale nie w obu jednocześnie. Oznacza to, że jest to suma zbiorów minus ich przecięcie. Jego symbolem jest . Przykład:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Produkt kartezjański: Jest to operacja, w wyniku której powstaje nowy zestaw, który zawiera jako elementy uporządkowane pary lub krotki (uporządkowane serie) elementów należących do dwóch lub więcej zestawów. Są to pary uporządkowane, jeśli są to dwa zestawy, a krotki, jeśli mamy więcej niż dwa zestawy. Przykład:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Prawa algebry zbiorów

Prawa algebry zbiorów są następujące:

• Idempotencja: Połączenie lub przecięcie zbioru z samym sobą daje w wyniku ten sam zbiór:

XUX = X

X∩X = X

• przemienne: Kolejność czynników nie zmienia wyniku przy znajdowaniu sumy lub przecięcia zbiorów:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Dystrybucyjny: Suma zbioru X, z przecięciem dwóch innych zbiorów Y i Z, jest równa przecięciu sumy X i Y, z sumą X i Z. To jest:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Co więcej, to samo dotyczy odwrócenia kolejności operacji:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Asocjacyjny: Warunki operacji sumy lub przecięcia kilku zbiorów można grupować w niewyraźny sposób, uzyskując zawsze ten sam wynik:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Prawo Morgana: Dopełnienie sumy dwóch zbiorów jest równe przecięciu ich dopełnień, a dopełnienie przecięcia dwóch zbiorów jest równe sumie ich dopełnień.

(XUY)^do= X^do∩Y^do

(X∩Y)^do= X^doUy^do

• Prawo różnicowe: Różnica jednego zbioru względem drugiego jest równa przecięciu pierwszego z dopełnieniem drugiego:

(X-Y) = X∩Y^do

• Uzupełnij prawa:
  • Związek zbioru z jego dopełnieniem nie równa się zbiorowi uniwersalnemu. XUX^do= U
  • Przecięcie zbioru z jego uzupełnieniem jest równe zbiorowi zerowemu lub pustemu. X∩X^do=∅
  • Dopełnienie dopełnienia zbioru X jest równe zbiorowi X. (X^do)^do= X
  • Uzupełnienie zbioru uniwersalnego jest równe zbiorowi zerowemu lub pustemu. X^do=∅
  • Dopełnienie zbioru pustego jest równe zbiorowi uniwersalnemu. ∅^do= U

• Prawa absorpcji:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^do∩Y) = XUY
  • X∩ (X^doUY) = X∩Y