Modele równowagi stóp procentowych to modele równowagi oparte na geometrycznym procesie Browna i na neutralności ryzyka krótkoterminowych stóp procentowych.
Innymi słowy, modele równowagi stóp procentowych wykorzystują krótkoterminowe stopy procentowe do obliczania przyszłych stóp procentowych z uwzględnieniem struktury terminowej stóp procentowych.
Jako odniesienie dla krótkoterminowych stóp procentowych użyjemy stóp procentowych obligacje zerokuponowe. Przykładem mogą być hiszpańskie bony skarbowe emitowane w krótkim okresie.
Polecane pozycje: obligacja zerokuponowa, opcja i mean reversion.
Strukturę czasową cen obligacji zerokuponowych uzyskuje się z geometrycznego procesu Browna, który wychwytuje nieskończenie małe zmiany krótkoterminowych stóp procentowych.
Ceny obligacji zerokuponowych służą do wyceny ceny opcji obligacji zerokuponowych i opcji obligacji kuponowych.
Tak więc, aby obliczyć przyszłe ceny obligacji zerokuponowych, potrzebujemy krótkoterminowych zerokuponowych stóp procentowych. W ten sposób możemy również zbudować krzywą lub strukturę czasową zerokuponowych stóp procentowych. Kiedy już mamy krzywą, możemy określić ewolucję długoterminowych stóp procentowych, biorąc pod uwagę krótkoterminowe stopy procentowe.
Struktura terminowa lub krzywa oprocentowania obligacji zerokuponowych obliczona z modelu Vasicka:
Założenia modelu równowagi dotyczące stóp procentowych
Założenia modelu to:
- Neutralność ryzyka.
Jako klasyczne założenie wyceny aktywów na rynkach finansowych przyjmujemy neutralne ryzyko. To założenie jest kluczowe dla uzyskania ceny obligacji przy użyciu symulacji Monte Carlo.
- Rozkład logarytmiczno-normalny obligacji i stóp procentowych.
Zakładamy rozkład logarytmiczno-normalny, ponieważ przedstawiamy stopy procentowe jako zmienną dodatnią, taką jak ceny obligacji. Nie ma sensu wyceniać obligacji wycenianych ujemnie. Zakładając logarytmiczny rozkład stóp procentowych, możemy powiedzieć, że stopy procentowe będą podlegać geometrycznemu procesowi Browna. Gdyby rozkład stóp procentowych był rozkładem normalnym, powiedzielibyśmy, że stopy procentowe są zgodne z procesem arytmetycznym Browna.
Modele równowagi jednoczynnikowej
Jednoczynnikowe modele równowagi to modele do obliczania struktury terminowej stóp procentowych na podstawie krótkoterminowych stóp procentowych.
Mówimy o jednym czynniku, ponieważ ryzyko lub niepewność wynika z jednego czynnika: zmienności stóp procentowych. Istnieją modele równowagi dwuczynnikowej, które dają większe możliwości w zakresie ruchów stóp procentowych.
Matematycznie definiujemy jednoczynnikowy model równowagi postaci:
Gdzie,
- r (t): krótkoterminowe stopy procentowe w momencie t.
- dr: zmiana stóp procentowych (r) w czasie (dt).
- dt: upływ czasu = ewolucja czasu.
- m (r) dt: kierunek lub trend (m) przyjęty przez stopy procentowe (r) w czasie (dt).
- s (r): odchylenie standardowe stóp procentowych (r).
- dZ: losowy składnik lub zakłócenie, które ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją 1.
Powyższe wyrażenie jest znane jako a stochastyczne równanie różniczkowe wyrażone w procesie Itô.
Typy modeli
Najpopularniejszymi jednoczynnikowymi modelami równowagi są:
- Model Rendlemana i Barttera.
- Model Vasicka.
- Model Coxa, Ingresoll i Rossa.