Właściwości wartości oczekiwanych

Wartość oczekiwana zmiennej losowej to pojęcie analogiczne do algebry matematycznej, która rozważa średnią arytmetyczną zbioru obserwacji tej zmiennej.

Innymi słowy, wartość oczekiwana zmiennej losowej to wartość, która pojawia się najczęściej podczas wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Właściwości oczekiwanych wartości zmiennej losowej

Oczekiwana wartość zmiennej losowej ma trzy właściwości, które rozwijamy poniżej:

Właściwość 1

Dla dowolnej stałej g oczekiwana wartość tej stałej będzie wyrażona jako E (g) i będzie tą samą stałą g. Matematycznie:

E(g) = g

Ponieważ g jest stałą, to znaczy nie zależy od żadnej zmiennej, jej wartość pozostanie taka sama.

Przykład

Jaka jest oczekiwana wartość 1? Innymi słowy, jaką wartość przypisujemy liczbie 1?

E (1) =?

Dokładnie, cyfrze 1 przypisujemy wartość 1 i jej wartość nie zmieni się bez względu na to, ile lat mijają czy zdarzają się klęski żywiołowe. Mamy więc do czynienia ze zmienną stałą, a zatem:

E (1) = 1 lub E (g) = g

Mogą wypróbować inne numery.

Właściwość 2

Dla dowolnej stałej h i k oczekiwana wartość linii h · X + k będzie równa stałej h pomnożonej przez oczekiwanie zmiennej losowej X plus stała k. Matematycznie:

E (h X + k) = h E (X) + k

Przyjrzyj się uważnie, czy nie przypomina ci to bardzo znanego strita? Dokładnie, linia regresji.

Jeśli wymienimy:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Mieć:

Y = B₀ + B₁X

Gdy oszacowane zostaną współczynniki B₀ , B₁, czyli B₀ , B₁ , pozostają one takie same dla całej próbki. Tak więc stosujemy właściwość 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Tutaj również znajdujemy własność bezstronności, czyli wartość oczekiwana estymatora jest równa jego wartości populacji.

Wracając do E (h · X + k) = h · E (X) + k, podczas wyciągania wniosków z linii regresji należy pamiętać, że Y to E (h · X + k). Innymi słowy, można by powiedzieć, że gdy X zwiększa się o jeden, Y zwiększa się o pół h jednostek, ponieważ Y jest oczekiwaną wartością linii h · X + k.