Twierdzenie Bayesa służy do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia, mając wcześniej informacje o tym zdarzeniu.
Możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, wiedząc również, że A spełnia pewną cechę, która określa jego prawdopodobieństwo. Twierdzenie Bayesa rozumie prawdopodobieństwo odwrotnie do twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie wnioskuje o zdarzeniu B na podstawie wyników zdarzeń A. Ze swojej strony Bayes oblicza prawdopodobieństwo warunkowego zdarzenia A od B.
Twierdzenie Bayesa było szeroko kwestionowane. Co wynikało głównie z jego złego zastosowania. Ponieważ dopóki spełnione są założenia o zdarzeniach rozłącznych i wyczerpujących, twierdzenie to jest całkowicie słuszne.
Wzór na twierdzenie Bayesa
Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdefiniowane przez Bayesa w tego typu zdarzeniach, potrzebujemy formuły. Wzór jest matematycznie zdefiniowany jako:
Gdzie B jest zdarzeniem, o którym mamy wcześniejsze informacje, a A (n) to różne zdarzenia warunkowe. W części licznika mamy prawdopodobieństwo warunkowe, aw dolnej części prawdopodobieństwo całkowite. W każdym razie, chociaż formuła wydaje się nieco abstrakcyjna, jest bardzo prosta. Aby to zademonstrować, użyjemy przykładu, w którym zamiast A (1), A (2) i A (3) użyjemy bezpośrednio A, B i C.
Przykład twierdzenia Bayesa
Firma ma fabrykę w Stanach Zjednoczonych, która posiada trzy maszyny, A, B i C, które produkują pojemniki na butelki na wodę. Wiadomo, że maszyna A wytwarza 40% całkowitej ilości, maszyna B 30%, a maszyna C 30%. Wiadomo również, że każda maszyna produkuje wadliwe opakowania. W taki sposób, że maszyna A wytwarza 2% wadliwych opakowań swojej całkowitej produkcji, maszyna B 3%, a maszyna C 5%. To powiedziawszy, pojawiają się dwa pytania:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (K) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Jeśli pojemnik został wyprodukowany przez fabrykę tej firmy w Stanach Zjednoczonych, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest wadliwy?
Oblicza się całkowite prawdopodobieństwo. Ponieważ na podstawie różnych zdarzeń obliczamy prawdopodobieństwo, że jest wadliwy.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Wyrażone w procentach powiedzielibyśmy, że prawdopodobieństwo, że pojemnik wyprodukowany przez fabrykę tej firmy w Stanach Zjednoczonych jest wadliwy, wynosi 3,2%.
2. Kontynuując poprzednie pytanie, jeśli kontener został zakupiony i jest uszkodzony, jakie jest prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany przez maszynę A?i przez maszynę B?i przez maszynę C?
Wykorzystano tutaj twierdzenie Bayesa. Mamy wcześniejszą informację, czyli wiemy, że opakowanie jest wadliwe. Oczywiście wiedząc, że jest wadliwy, chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że została wyprodukowana przez jedną z maszyn.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Wiedząc, że pojemnik jest uszkodzony, prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany przez maszynę A wynosi 25%, że został wyprodukowany przez maszynę B wynosi 28%, a został wyprodukowany przez maszynę C wynosi 47%.