Bezwzględną wartością liczby rzeczywistej jest jej wielkość, niezależnie od znaku, który ją poprzedza.
Innymi słowy, wartość bezwzględna liczby to wartość wynikająca z wyeliminowania odpowiadającego jej znaku.
Aby spojrzeć na to w bardziej formalny sposób, musimy spełnić następujące warunki, gdzie x pomiędzy dwoma słupkami oznacza, że znajdujemy wartość bezwzględną x:
| x | = x jeśli x≥ 0
|x|=-x jeśli x <0
Oznacza to, że wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba. Zamiast tego wartość bezwzględna liczby ujemnej jest równa tej liczbie, ale ze znakiem ujemnym przed nią. To znaczy pomnożone przez -1.
Również wartość bezwzględna -10 to - (-10) = 10. Dlatego musimy podkreślić, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia.
Właściwości wartości bezwzględnej
Wśród właściwości o wartości bezwzględnej wyróżniają się:
- Wartość bezwzględna liczby i jej przeciwieństwa jest taka sama. Oznacza to, że wartość -19 i 19 jest taka sama: 19.
- Wartość bezwzględna sumy jest równa lub mniejsza od sumy wartości bezwzględnych dodatków. Oznacza to, że prawdą jest, że:
| x + y | ≤ | x | + | y |
Możemy to sprawdzić na kilku przykładach:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Inną właściwością jest ta, którą nazywamy właściwością multiplikatywną. To mówi nam, że bezwzględna wartość produktu jest równa iloczynowi bezwzględnych wartości czynników. Oznacza to, że prawdziwe jest następujące:
| xy | = | x |. | y |
Możemy to sprawdzić na poniższych przykładach:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Jako odpowiednik własności multiplikatywnej mamy własność zachowania podziału, która mówi nam, że wartość bezwzględna podziału jest równa ilorazowi wartości bezwzględnych tych samych elementów tej operacji. To tak długo, jak dzielnik nie wynosi zero. Oznacza to, że prawdą jest, że:
| x / y | = | x | / | y |
Możemy to zobaczyć na kilku przykładach:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Wartość bezwzględna na wykresie
Następnie zobaczmy, jak wyglądałby przykład wartości bezwzględnej na płaszczyźnie kartezjańskiej.
W tym przypadku mamy prostą funkcję y = | x | i zauważamy, że wartość y zawsze będzie dodatnia, niezależnie od wartości x.
