Seria Taylora - Co to jest, definicja i koncepcja

Szereg Taylora to szereg potęg, które rozciągają się do nieskończoności, gdzie każdy z dodatków jest podnoszony do potęgi większej niż poprzednia.

Każdy element szeregu Taylora odpowiada n-tej pochodnej funkcji f obliczonej w punkcie a, pomiędzy silnia n (n!), A wszystko to pomnożone przez x-a podniesione do potęgi n.

Pod względem formalnym lub matematycznym szereg Taylora ma następującą postać:

Aby lepiej zrozumieć szereg Taylora, musimy pamiętać, że a jest punktem na prostej stycznej do funkcji f. Wspomnianą linię można z kolei wyrazić jako funkcję liniową, której nachylenie jest takie samo, jak nachylenie funkcji f w punkcie a.

Innym aspektem, o którym należy pamiętać, jest to, że f jest funkcją różniczkowalną n razy w punkcie a. Jeśli n jest nieskończonością, jest to funkcja nieskończenie różniczkowalna.

W szczególnym przypadku, gdy a = 0, szereg nazywany jest również szeregiem McLaurina.

Różnica między szeregiem a wielomianem Taylora

Różnica między szeregiem a wielomianem Taylora polega na tym, że w pierwszym przypadku mówimy o ciągu nieskończonym, podczas gdy w drugim jest to szereg skończony.

Zatem wielomian Taylora można zdefiniować jako wielomianowe przybliżenie funkcji n razy różniczkowalnej w określonym punkcie (a).

Przykłady serii Taylora

Oto kilka przykładów odmian szeregu Taylora:

• Funkcja wykładnicza:

• Funkcje trygonometryczne:

Zastosowania serii Taylora

Niektóre zastosowania serii Taylora to:

• Analiza granic.
• Analiza punktów stacjonarnych lub punktów krzesełkowych w funkcjach.
• Zastosowanie w twierdzeniu L'Hopitala (do rozwiązywania granic).
• Estymacja całkowa.
• Estymacja zbieżności i rozbieżności pewnych szeregów.
• Analiza aktywów i produktów finansowych, gdy cena jest wyrażona jako funkcja nieliniowa.