Szereg Taylora to szereg potęg, które rozciągają się do nieskończoności, gdzie każdy z dodatków jest podnoszony do potęgi większej niż poprzednia.
Każdy element szeregu Taylora odpowiada n-tej pochodnej funkcji f obliczonej w punkcie a, pomiędzy silnia n (n!), A wszystko to pomnożone przez x-a podniesione do potęgi n.
Pod względem formalnym lub matematycznym szereg Taylora ma następującą postać:
Aby lepiej zrozumieć szereg Taylora, musimy pamiętać, że a jest punktem na prostej stycznej do funkcji f. Wspomnianą linię można z kolei wyrazić jako funkcję liniową, której nachylenie jest takie samo, jak nachylenie funkcji f w punkcie a.
Innym aspektem, o którym należy pamiętać, jest to, że f jest funkcją różniczkowalną n razy w punkcie a. Jeśli n jest nieskończonością, jest to funkcja nieskończenie różniczkowalna.
W szczególnym przypadku, gdy a = 0, szereg nazywany jest również szeregiem McLaurina.
Różnica między szeregiem a wielomianem Taylora
Różnica między szeregiem a wielomianem Taylora polega na tym, że w pierwszym przypadku mówimy o ciągu nieskończonym, podczas gdy w drugim jest to szereg skończony.
Zatem wielomian Taylora można zdefiniować jako wielomianowe przybliżenie funkcji n razy różniczkowalnej w określonym punkcie (a).
Przykłady serii Taylora
Oto kilka przykładów odmian szeregu Taylora:
- Funkcja wykładnicza:
- Funkcje trygonometryczne:
Zastosowania serii Taylora
Niektóre zastosowania serii Taylora to:
- Analiza granic.
- Analiza punktów stacjonarnych lub punktów krzesełkowych w funkcjach.
- Zastosowanie w twierdzeniu L'Hopitala (do rozwiązywania granic).
- Estymacja całkowa.
- Estymacja zbieżności i rozbieżności pewnych szeregów.
- Analiza aktywów i produktów finansowych, gdy cena jest wyrażona jako funkcja nieliniowa.
