Najmniejsze kwadraty w dwóch etapach (LS2E)

Metoda najmniejszych kwadratów w dwóch etapach (LS2E) rozwiązuje problem endogeniczności jednej lub więcej zmiennych objaśniających w modelu regresji wielorakiej.

Jego głównym celem jest uniknięcie skorelowania jednej lub większej liczby endogenicznych zmiennych objaśniających modelu ze składnikiem błędu oraz umożliwienie skutecznego oszacowania zwykłych najmniejszych kwadratów (OLS) w modelu początkowym. Narzędzia, których należy użyć, to zmienne instrumentalne (VI), modele strukturalne i równania zredukowane.

Innymi słowy, MC2E pomaga nam dokonać oszacowania z gwarancjami, gdy jedna lub więcej endogenicznych zmiennych objaśniających jest skorelowanych z terminem błędu i występuje wykluczenie egzogenicznych zmiennych objaśniających. MC2E odnosi się do procedury, którą należy zastosować w celu leczenia tego problemu endogenności.

• W pierwszym etapie stosuje się „filtr” w celu wyeliminowania korelacji ze składnikiem błędu.
• W drugim etapie uzyskuje się wartości skorygowane, z których można dokonać dobrych oszacowań MNK na zredukowanej formie oryginalnego modelu.

Model strukturalny

Model strukturalny reprezentuje równanie, w którym ma na celu zmierzenie związku przyczynowego między zmiennymi i skupienie się na regresorach (β_jot). Model 1 to wielokrotna regresja liniowa z dwiema zmiennymi objaśniającymi: Y₂ i Z₁

Model 1 ⇒ Y₁= β₀ + β₁·Y₂ + β₂Z₁ + u₁

Zmienne objaśniające można podzielić na dwa typy: zmienne objaśniające endogeniczne i zmienne objaśniające egzogeniczne. W Modelu 1 endogeniczną zmienną objaśniającą jest Z₁ a egzogeniczną zmienną objaśniającą jest Y₂ . Zmienna endogeniczna jest podawana przez model (jest wynikiem modelu) i jest skorelowana z u₁. Przyjmujemy zmienną egzogeniczną jako podaną (konieczne jest, aby model wyrzucił wynik) i nie jest ona skorelowana z u₁.

Procedura MC2E

W dalszej części wyjaśnimy szczegółowo procedurę dokonywania oszacowania metodą najmniejszych kwadratów w dwóch etapach.

Pierwszy etap

1. Zakładamy, że mamy dwie egzogeniczne zmienne objaśniające, które są wykluczone w Modelu 1, gdzie Z₂ i Z₃ . Pamiętaj, że egzogeniczną zmienną objaśniającą mamy już w Modelu 1, Z₁ Dlatego w sumie będziemy mieli teraz trzy egzogeniczne zmienne objaśniające: Z₁ , Z₂ i Z₃

Ograniczeniami wykluczenia są:

• Z₂ i Z₃ nie pojawiają się w Modelu 1, dlatego są wykluczone.

• Z₂ i Z₃ nie są skorelowane z błędem.

2. Musimy otrzymać równanie w postaci zredukowanej dla Y₂. W tym celu zastępujemy:

• Zmienna endogeniczna Y₁ przez Y₂ .

• Regresory β_jot przez π_jot .

• Błąd u₁ przez v₂ .

Forma zredukowana dla Y₂ Modelu 1 to:

Tak₂= π₀ + π₁Z₁ + π₂ Z₂ + π₃ Z₃ + v₂

W przypadku, gdy Z₂ i Z₃ są skorelowane z Y₂ , można by użyć metody Instrumental Variables (VI), ale otrzymalibyśmy dwa estymatory VI i w tym przypadku dwa estymatory byłyby nieefektywne lub nieprecyzyjne. Mówimy, że estymator jest tym bardziej wydajny lub dokładny, im mniejsza jest jego wariancja. Najbardziej efektywnym estymatorem byłby ten o najmniejszej możliwej wariancji.

3. Zakładamy, że poprzednia kombinacja liniowa jest najlepszą zmienną instrumentalną (VI), nazywamy Y₂^* dla Ciebie₂ i usuwamy błąd (v₂) z równania:

Tak₂^* = π₀ + π₁Z₁ + π₂ Z₂ + π₃ Z₃ + v₂ π₂ ≠ 0, π₃ ≠ 0

Drugi etap

4. Wykonujemy estymację OLS na zredukowanej formie Modelu 1 powyżej i uzyskujemy dopasowane wartości (przedstawiamy je za pomocą karetki „^”). Dopasowana wartość to szacunkowa wersja Y₂^* co z kolei nie jest skorelowane z u₁ .

5. Otrzymane poprzednie oszacowanie, może być użyte jako VI dla Y₂ .

Podsumowanie procesu

Dwustopniowa metoda najmniejszych kwadratów (LS2E):

• Pierwszy etap: Wykonaj regresję na modelu okalającym (pkt. 4), gdzie dokładnie uzyskuje się dopasowane wartości. Ta dopasowana wartość jest szacunkową wersją Y₂^* a zatem nie jest skorelowany z błędem u₁ . Chodzi o to, aby zastosować filtr niekorelacji dopasowanej wartości z błędem u₁ .

• Drugi etap: Wykonaj regresję OLS na zredukowanej postaci Modelu 1 (punkt 2) i uzyskaj dopasowane wartości. Ponieważ używana jest dopasowana wartość, a nie oryginalna wartość (Y₂) nie panikuj, jeśli oszacowania LS2E nie pasują do oszacowań OLS w zredukowanej formie Modelu 1.