Reguła Sarrusa - Co to jest, definicja i pojęcie

Reguła Sarrusa to metoda pozwalająca na szybkie obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej o wymiarze 3 × 3 lub większym.

Innymi słowy, reguła Sarrusa polega na narysowaniu dwóch zestawów dwóch przeciwległych trójkątów za pomocą elementów matrycy. Pierwszy zestaw to 2 trójkąty, które przecinają główną przekątną, a drugi zestaw to 2 trójkąty, które przecinają przekątną drugorzędną.

Definiujemy:

DP_T1: Pierwszy trójkąt przecinający główną przekątną (DP) matrycy.

DP_T2: Drugi trójkąt przecinający główną przekątną (DP) matrycy.

DS_T1: Pierwszy trójkąt, który przecina drugorzędną przekątną (DS) macierzy.

DS_T2: Drugi trójkąt, który przecina drugorzędną przekątną (DS) macierzy.

Proces

Matematycznie definiujemy macierzZ_3×3Co:

1. Nad macierzą rysujemy główną przekątną (DP)Z_3×3:

DP = (z₁₁, z₂₂, z₃₃).

2. Rysujemy pierwszy zestaw trójkątów przecinających główną przekątną:

• Pierwszy trójkąt (zaznaczony na czerwono) (T1):

DP_T1 = (z₂₁, z₃₂, z₁₃).

• Drugi trójkąt (zaznaczony na biało) (T2):

DP_T2 = (z₁₂, z₂₃, z₃₁).

Ten drugi trójkąt nie musi być zaznaczony, ponieważ jest narysowany jako przeciwieństwo lub uzupełnienie pierwszego.

3. Mnożenie elementów głównej przekątnej, pierwszego trójkąta i drugiego.

• DP = z₁₁ Z₂₂ Z₃₃
• T1 = z₂₁ Z₃₂ Z₁₃
• T2 = z₁₂ Z₂₃ Z₃₁

Po pomnożeniu dodajemy je:

• DP + T1 + T2 = (z₁₁ Z₂₂ Z₃₃) + (z₂₁ Z₃₂ Z₁₃) + (z₁₂ Z₂₃ Z₃₁)

4. Nad macierzą rysujemy przekątną drugorzędną (DS)Z_3×3:

DS = (z₃₁, z₂₂, z₁₃).

5. Rysujemy pierwszy zestaw trójkątów przecinających główną przekątną:

• Pierwszy trójkąt (zaznaczony na różowo) (T1):

DP_T1 = (z₁₁, z₃₂, z₂₃).

• Drugi trójkąt (zaznaczony na biało) (T2):

DP_T2 = (z₂₁, z₁₂, z₃₃).

Ten drugi trójkąt nie musi być zaznaczony, ponieważ jest narysowany jako przeciwieństwo lub uzupełnienie pierwszego.

6. Mnożenie elementów przekątnej wtórnej, pierwszego trójkąta i drugiego:

• DS = z₃₁ Z₂₂Z₁₃
• T1 = z₁₁Z₃₂Z₂₃
• T2 = z₂₁Z₁₂Z₃₃

Po pomnożeniu odejmujemy je:

• - DS - T1 - T2 = - (z₃₁ Z₂₂Z₁₃) - (z₁₁Z₃₂Z₂₃) - (z₂₁Z₁₂Z₃₃)

7. Mając już 2 trójkąty przecinające główną przekątną i 2 trójkąty przecinające przekątną drugorzędną łączymy oba wyniki i otrzymujemy wyznacznik macierzyZ_3×3.

Wyznacznik Z_3×3 = |Z_3×3| = DP + T1 + T2- DS - T1 - T2 = (z₁₁ Z₂₂ Z₃₃) + (z₂₁Z₃₂ Z₁₃) + (z₁₂ Z₂₃ Z₃₁) - (z₃₁ Z₂₂Z₁₃) - (z₁₁Z₃₂Z₂₃) - (z₂₁Z₁₂Z₃₃)

Przykład reguły Sarrus

Znajdź wyznacznik macierzyDO_3×3: