Macierz jednostkowa lub jednostka rzędu n jest macierzą kwadratową, w której wszystkie jej elementy są zerami (0) minus elementy głównej przekątnej, które są jedynkami (1).
Innymi słowy, macierz jednostkowa ma tylko jedynki (1) na głównej przekątnej i wszystkie pozostałe elementy macierzy z zerami (0). Co więcej, macierz tożsamości jest rozpoznawana jako macierz kwadratowy, ponieważ jest to macierz kwadratowa.
Operacje na macierzachReprezentacja macierzy tożsamości
Możemy tworzyć nieskończone kombinacje macierzy jednostkowych, o ile przestrzegamy warunku bycia macierzą kwadratową: posiadanie takiej samej liczby wierszy (n) i kolumn (m).
Nieruchomości
Kiedy wykonujemy operacje z matrycą jednostkową nie powinniśmy się denerwować. Musimy myśleć o macierzy jednostkowej jako o liczbie jeden (1).
Numer 1
- Kiedy pomnożymy przez jeden (1) dowolną inną liczbę, otrzymamy tę samą liczbę (neutralność). Biorąc pod uwagę stałą z lub dowolny skalar:
- Jeśli wykonamy odwrotność liczby jeden (1), otrzymamy tę samą liczbę jeden (1) (odwracalny).
- Kiedy podnosimy liczbę jeden (1) jednostek h, zawsze będziemy mieli liczbę jeden (1) (idempotencja).
Macierz jednostkowa
- Neutralność. Gdy macierz jednostkowa uczestniczy w mnożeniu macierzy, nazywana jest iloczynem neutralnym. Biorąc pod uwagę dowolną macierz Z:
- Odwracalny. Macierz odwrotna macierzy jednostkowej to macierz jednostkowa:
- Idempotencja. Podniesiona macierz odwrotna h jednostek (liczba naturalna) jest nadal macierzą jednostkową:
Procedura identyfikacji macierzy tożsamości identity
- Macierz musi być macierzą kwadratową.
- Macierz musi mieć jedynki (1) na głównej przekątnej i zera (0) na pozostałych pozycjach.
Aplikacje
Macierz jednostkowa uczestniczy tyle razy, ile jeden (1) uczestniczy w algebrze. Na przykład, gdy pomnożymy dowolną macierz przez jej macierz odwrotną, otrzymamy macierz jednostkową.
Przykład teoretyczny
Czy następujące macierze są macierzami tożsamości?
Macierz IA:
- Macierz kwadratowa.
- Macierz nieidentyfikacyjna: na głównej przekątnej znajduje się liczba inna niż jeden (1), a na pozostałych pozycjach liczba inna niż zero (0).
Macierz IB:
- Nie kwadratowa macierz.
- Brak macierzy tożsamości.
Macierz IC:
- Nie kwadratowa macierz.
- Brak macierzy tożsamości.
Identyfikator macierzy:
- Macierz kwadratowa.
- Macierz tożsamości: na głównej przekątnej są jedynki (1), a na pozostałych pozycjach są zera (0).
IE macierz:
- Macierz kwadratowa.
- Brak macierzy jednostkowej: chociaż na pozostałych pozycjach są zera (0), na głównej przekątnej jest liczba inna niż jeden (1).