Centralne Twierdzenie Graniczne (TCL) to teoria statystyczna, która mówi, że przy wystarczająco dużej losowej próbie populacji rozkład średnich z próby będzie zgodny z rozkładem normalnym.
Co więcej, TCL stwierdza, że wraz ze wzrostem wielkości próby średnia próbki zbliży się do średniej populacji. Dlatego za pomocą TCL możemy zdefiniować rozkład średniej próby pewnej populacji o znanej wariancji. Zatem rozkład będzie zgodny z rozkładem normalnym, jeśli wielkość próbki jest wystarczająco duża.
Główne własności centralnego twierdzenia granicznego
Centralne twierdzenie graniczne ma szereg bardzo przydatnych właściwości w dziedzinie statystycznej i probabilistycznej. Najważniejsze z nich to:
- Jeśli wielkość próby jest wystarczająco duża, rozkład średnich próby będzie w przybliżeniu zgodny z rozkładem normalnym. TCL uważa próbkę za dużą, gdy jej rozmiar jest większy niż 30. Dlatego też, jeśli próbka jest większa niż 30, średnia próbki będzie miała rozkład zbliżony do normalnego. I to niezależnie od formy dystrybucji, z jaką pracujemy.
- Średnia populacji i średnia próbki będą takie same. Oznacza to, że średnia z rozkładu wszystkich średnich z próby będzie równa średniej z całej populacji.
- Wariancja rozkładu średnich próbek będzie wynosić σ² / n. Czyli wariancja populacji podzielona przez wielkość próby.
To, że rozkład średnich z próby przypomina normalny, jest niezwykle przydatne. Ponieważ rozkład normalny jest bardzo łatwy do zastosowania do testowania hipotez i konstrukcji przedziałów ufności. W statystykach bardzo ważne jest, aby rozkład był normalny, ponieważ wiele statystyk wymaga tego typu rozkładu. Ponadto TCL pozwoli nam wnioskować o średniej populacji na podstawie średniej próbki. A jest to bardzo przydatne, gdy z braku środków nie możemy zebrać danych z całej populacji.
Przykład centralnego twierdzenia granicznego
Wyobraźmy sobie, że chcemy przeanalizować historyczne średnie stopy zwrotu indeksu S&P 500, który jak wiemy ma w swoim składzie około 500 spółek. Ale nie mamy wystarczających informacji, aby przeanalizować wszystkie 500 spółek w indeksie. W tym przypadku średnia rentowność S&P 500 byłaby średnią populacyjną.
Teraz, zgodnie z TCL, możemy pobrać próbkę tych 500 firm, aby przeprowadzić analizę. Jedynym ograniczeniem, jakie mamy, jest to, że w próbie musi być więcej niż 30 firm, aby twierdzenie zostało spełnione. Wyobraźmy sobie więc, że wybieramy losowo 50 spółek z indeksu i powtarzamy ten proces kilka razy. Kroki, które należy wykonać w tym przykładzie, będą następujące:
- Dobieramy próbę około 50 firm i uzyskujemy średnią rentowność całej próby.
- Stale wybieramy 50 firm i uzyskujemy średnią rentowność.
- Rozkład wszystkich średnich zwrotów wszystkich wybranych próbek będzie zbliżony do rozkładu normalnego.
- Średnie zwroty wszystkich wybranych próbek będą zbliżone do średnich zwrotów całego indeksu. Jak pokazuje Centralne Twierdzenie Graniczne.
Dlatego też, wnioskując ze średniej stopy zwrotu z próby, możemy zbliżyć się do średniej stopy zwrotu indeksu.