Rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, który modeluje częstotliwość pewnych zdarzeń w ustalonym przedziale czasu na podstawie średniej częstotliwości występowania tych zdarzeń.
Innymi słowy, rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, który tylko znając zdarzenia i ich średnią częstotliwość występowania, możemy poznać ich prawdopodobieństwo.
Wyrażenie rozkładu Poissona
Mając dyskretną zmienną losową X, mówimy, że jej częstość można zadowalająco przybliżyć do rozkładu Poissona, takiego, że:
W przeciwieństwie do rozkładu normalnego rozkład Poissona zależy tylko od jednego parametru, mu (oznaczonego na żółto).
Mu zgłasza oczekiwaną liczbę zdarzeń, które wystąpią w określonym przedziale czasu. Mówiąc o czymś „oczekiwanym”, musimy to przekierować, aby pomyśleć o środku. Dlatego mu jest średnią częstotliwości zdarzeń.
Zarówno średnia, jak i wariancja tego rozkładu są bardzo ściśle dodatnie.
Reprezentacja
Mając rozkład Poissona ze średnią 2, rozkład prawdopodobieństwa gęstości jest następujący:
Funkcja jest zdefiniowana tylko na wartościach całkowitych x.
Nie wszystkie rozkłady prawdopodobieństwa gęstości Poissona będą wyglądać tak samo, nawet jeśli zachowamy tę samą próbkę. Jeśli zmienimy średnią, czyli parametr, od którego zależy funkcja, funkcja również się zmieni.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf)
Funkcja ta jest rozumiana jako prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie określoną wartość x. Jest to wykładnik ujemnej średniej pomnożonej przez średnią podniesioną do obserwacji i podzieloną przez silnię obserwacji.
Jak wskazano, aby poznać prawdopodobieństwo każdej obserwacji, będziemy musieli podstawić wszystkie obserwacje w funkcji. Innymi słowy, x jest wektorem wymiaru n, który zawiera wszystkie obserwacje zmiennej losowej X. Średnia również byłaby wektorem, ale o jednym wymiarze, takim, że:
Mając obliczone prawdopodobieństwa, razem z obserwacjami możemy narysować rozkład gęstości prawdopodobieństwa.
Fabuła
Nazwa tej dystrybucji pochodzi od jej twórcy Siméona-Denisa Poissona (1781-1840), francuskiego matematyka i filozofa, który chciał wymodelować częstotliwość zdarzeń w określonym przedziale czasu. Uczestniczył także w doskonaleniu prawa wielkich liczb.
Aplikacja
Rozkład Poissona jest wykorzystywany w obszarze ryzyka operacyjnego w celu modelowania sytuacji, w których występuje strata operacyjna. W przypadku ryzyka rynkowego proces Poissona służy do określania czasów oczekiwania między transakcjami finansowymi w bazach danych o wysokiej częstotliwości. Przy modelowaniu liczby upadłości brane jest również pod uwagę ryzyko kredytowe.
Przykład
Zakładamy, że jesteśmy w sezonie zimowym i przed grudniem chcemy wyjechać na narty. Prawdopodobieństwo otwarcia ośrodków narciarskich przed grudniem wynosi 5%. Spośród 100 ośrodków narciarskich chcemy poznać prawdopodobieństwo, że najbliższy ośrodek narciarski zostanie otwarty przed grudniem. Wycena tego ośrodka narciarskiego to 6 punktów.
Dane wejściowe potrzebne do obliczenia funkcji gęstości Poissona to zbiór danych i mu:
- Zestaw danych = 100 ośrodków narciarskich.
- Mu = 5% * 100 = 5 to oczekiwana liczba ośrodków narciarskich w zestawie danych.
Czyli najbliższa stacja ma 14,62% szans na otwarcie przed grudniem.
Prawdopodobieństwo częstotliwości