Zbiory skończone to takie, których kardynalność lub liczba zawartych w nim elementów jest równa liczbie naturalnej.
Innymi słowy, zbiór skończony to taki, który ma pewną liczbę elementów, które można policzyć. Będąc przeciwieństwem nieskończonego zbioru, w którym elementy są niepoliczalne.
Bardziej formalnym sposobem wyrażenia, że zbiór jest skończony, jest to, że elementy tego zbioru, który nazwiemy M, można sparować z elementami zbioru (1, 2,…, n), który nazwiemy N. Jest to ciąg liczb całkowitych, w którym każdy element jest równy poprzedniemu plus jednostka.
W ten sposób elementy M i N można łączyć w pary jeden po drugim (co jest znane jako korespondencja jeden do jednego), nie pomijając żadnego elementu z tych dwóch zestawów.
Mówi się również, że M i N są równoważne, to znaczy, że na każdy element M przypada element N.
Ponadto liczba n (największy element zbioru N) pokrywa się z liczbą elementów M, gdzie n jest kardynałem, licznością lub potęgą N, a jej zapisem jest karta (N), |N| lub #N.
Przykłady skończonych zbiorów
Oto kilka przykładów zbiorów skończonych:
- Liczby nieparzyste większe niż 13 i mniejsze niż 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Oceany Ziemi: Atlantyk, Pacyfik, Indyjski, Arktyczny, Antarktyczny
- Lista dwudziestu uczniów należących do klasy.
Własności zbiorów skończonych
Wśród głównych właściwości zbiorów skończonych są te, które są wyeksponowane poniżej:
- Połączenie dwóch lub więcej zbiorów skończonych daje w wyniku zbiór skończony.
- Przecięcie (elementy wspólne) zbioru skończonego z jednym lub większą liczbą zbiorów jest skończone.
- Podzbiór zbioru skończonego jest również skończony.
- Podzbiór C zbioru skończonego M charakteryzuje się mniejszą liczbą elementów niż M. Oznacza to, że prawdą jest, że: Jeżeli C ⊊ M i |M | = n, to | C | <n (Symbol ⊊ oznacza, że C jest właściwym podzbiorem M. Oznacza to, że wszystkie elementy C są zawarte w M, ale istnieje co najmniej jeden element M, który nie znajduje się w C).
- Zbiór potęgowy zbioru skończonego M, który zawiera wszystkie podzbiory, które mogą być utworzone z elementów zbioru M (włącznie ze zbiorem pustym lub ∅), jest skończony i ma 2nie elementy, gdzie n to liczba elementów w M. Na przykład, jeśli mamy:
(1, 3, 41)
Zestaw potęg byłby następujący: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Jak widać, zbiór potęgowy skończonego zbioru trzech elementów ma osiem (23) elementy.