Ułamki algebraiczne to te, które można przedstawić jako iloraz dwóch wielomianów, czyli jako podział między dwoma wyrażeniami algebraicznymi, które zawierają liczby i litery.
Należy zauważyć, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka algebraicznego mogą zawierać dodawanie, odejmowanie, mnożenie, a nawet potęgowanie.
Inną kwestią, o której należy pamiętać, jest to, że wynik ułamka algebraicznego musi istnieć, więc mianownik musi być niezerowy.
Oznacza to, że spełniony jest następujący warunek, gdzie A (x) i B (x) są wielomianami tworzącymi ułamek algebraiczny:
Niektóre przykłady ułamków algebraicznych mogą być następujące:
Równoważne ułamki algebraiczne
Dwa ułamki algebraiczne są równoważne, gdy spełnione są następujące warunki:
Oznacza to, że wynik obu ułamków jest taki sam, a ponadto iloczyn licznika pierwszego ułamka przez mianownik drugiego jest równy iloczynowi mianownika pierwszego ułamka przez licznik drugiego.
Musimy wziąć pod uwagę, że aby skonstruować ułamek równoważny temu, który już mamy, możemy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę lub przez to samo wyrażenie algebraiczne. Na przykład, jeśli mamy następujące ułamki:
Weryfikujemy, czy obie frakcje są równoważne i można również zauważyć, co następuje:
To znaczy, jak wspomnieliśmy wcześniej, gdy mnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie algebraiczne, otrzymujemy równoważny ułamek algebraiczny.
Rodzaje ułamków algebraicznych
Frakcje można podzielić na:
- Prosty: Są to te, które zaobserwowaliśmy w całym artykule, gdzie ani licznik, ani mianownik nie zawierają innego ułamka.
- Złożony: Licznik i / lub mianownik zawierają inny ułamek. Przykładem może być:
Inny sposób klasyfikacji ułamków algebraicznych jest następujący:
- Racjonalny: Gdy zmienna jest podnoszona do potęgi, która nie jest ułamkiem (jak w przykładach, które widzieliśmy w tym artykule).
- Irracjonalny: Gdy zmienna jest podnoszona do potęgi, która jest ułamkiem, jak w następującym przypadku:
W tym przykładzie moglibyśmy zracjonalizować ułamek, zastępując zmienną inną, która pozwala nam nie mieć ułamków jako potęg. W takim razie tak x1/2= i i zamieniamy w równaniu otrzymamy:
Chodzi o to, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków, która w tym przypadku wynosi 1/2 (1 * 1/2). Więc jeśli mamy następujące irracjonalne równanie:
Najpierw musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków, która będzie wynosić: 2 * 5 = 10. Tak więc będziemy mieli zmienną y = x1/10. Jeśli zastąpimy w ułamku, otrzymamy teraz ułamek wymierny:
