Japoński matematyk Kiyoshi Ito wyraził w 1951 r. łańcuchową zasadę rachunku różniczkowego, ujawniając w ten sposób słynne motto, które nosi jego imię.
Rachunek stochastyczny definiuje odpowiednik deterministycznego rachunku Newtona-Leibniza dla funkcji losowych.
W rzeczywistości rachunek stochastyczny Ito jest jednym z najbardziej użytecznych narzędzi we współczesnej matematyce finansowej, na którym opiera się praktycznie cała teoria ekonomii i analiza finansowa w czasie ciągłym.
Motto Ito w finansach
Mówiąc dokładniej, w obrocie akcjami termin stochastyczny odnosi się do wahań cen zamknięcia. Innymi słowy, inwestorzy stosują analizę stochastyczną, aby zdecydować, kiedy kupować i sprzedawać papiery wartościowe.
Zakładasz, że gdy aktualna cena zamknięcia akcji jest bliska poprzedniej najniższej lub najwyższej cenie, cena następnego dnia nie będzie odpowiednio drastycznie wyższa lub niższa.
Z tej perspektywy motto Ito jest często używane do wyprowadzenia procesu stochastycznego, po którym następuje cena pochodnego papieru wartościowego. Na przykład, jeśli instrument bazowy (bazowy jest źródłem, z którego pochodzi wartość instrumentu finansowego) podąża za ruchem geometrycznym Browna, wówczas motto japońskie wskazuje, że papier wartościowy jest instrumentem pochodnym – którego cena jest funkcją ceny instrumentu bazowego i czasu - również podąża za ruchem geometrycznym Browna.
Ruch Browna i motto Ito
Aby lepiej zrozumieć tę teorię, powinniśmy najpierw pamiętać, czym jest ruch Browna: jest to przypadkowe przemieszczenie (przypadkowo) obserwowane w niektórych mikroskopijnych cząsteczkach, gdy znajdują się one w płynnym ośrodku, w cieczy.
To Szkot Robert Brown (któremu zawdzięcza swoje nazwisko), biolog, który odkrył to zjawisko w 1827 roku, jego matematyczny opis został opracowany przez Alberta Einsteina, chociaż wiele lat później, w 1905 roku. Jednak w wyniku tej demonstracji, słynny niemiecki Nobel otworzył drzwi teorii atomowej i zapoczątkował dziedzinę fizyki statystycznej.
To powiedziawszy, związek zasady Browna z lematem Ito jest wyjaśniony w następujący sposób → Jeśli dwie wartości mają to samo źródło ryzyka, odpowiednia kombinacja dwóch wartości może wyeliminować to ryzyko; Dlatego też, co do zasady, pochodne instrumenty finansowe zostały stworzone w celu ograniczenia tego ryzyka.
Ponadto wynik ten doprowadził do opracowania modelu matematycznego Blacka-Scholesa-Mertona (pierwsza kompletna próbka analityczna do oceny opcji) oraz wielu nowoczesnych teorii i zastosowań pokrycia.
