Kombinatoryka bez powtórzeń jest rozumiana jako różne zbiory, które można utworzyć z „n” elementów, wybranych spośród x w x. Każdy zestaw musi różnić się od poprzedniego przynajmniej jednym ze swoich elementów (kolejność nie ma znaczenia) i nie można ich powtórzyć.
Kombinatoryka bez powtórzeń jest powszechnie stosowana w statystyce i matematyce. To pasuje do wielu rzeczywistych sytuacji, a jego zastosowanie jest dość proste.
Weźmy na przykład ucznia, który ma egzamin z 4 pytań. Z 4 pytań musi wybrać 3. Ile różnych kombinacji może wykonać uczeń? Jeśli trochę przeanalizujemy, zobaczymy (bez faktycznego stosowania wzoru), że uczeń może wybrać, jak odpowiedzieć na 3 pytania na cztery różne sposoby.
- Zestaw / opcja 1: Odpowiedz na pytania 1,2,3.
- Zestaw / opcja 2: Odpowiedz na pytania 1,2,4.
- Zestaw / opcja 3: Odpowiedz na pytania 1,3,4.
- Zestaw / opcja 4: Odpowiedz na pytania 2,3,4.
Jak widać, uczeń potrafi uformować 4 zbiory (n) po 3 elementy (x). Dlatego kombinatoryka bez powtórzeń mówi nam, jak uformować lub pogrupować skończoną ilość danych/obserwacji w grupy o określonej ilości bez możliwości powtórzenia żadnego z elementów w każdej grupie. To główna różnica między kombinatoryką z powtórzeniem (elementy w każdej grupie mogą się powtarzać) a kombinatoryką bez powtórzeń (żadny element nie może się powtarzać w każdej grupie)
Aby podkreślić w tym przykładzie, że jest to przypadek kombinatoryki bez powtórzeń, ponieważ uczeń nie może zadać żadnego z pytań więcej niż raz. Dlatego elementy zestawów nie mogą się powtarzać.
W poprzednim przypadku, biorąc pod uwagę, że łączna liczba elementów jest niewielka, a ilość zestawu duża, liczba opcji jest niewielka i można ją łatwo wywnioskować bez stosowania wzoru. W przypadku bezpośredniego zastosowania wzoru, licznikiem byłoby 24 (4 * 3 * 2 * 1), a mianownikiem 6 (3 * 2 * 1 * 1), dzięki czemu doszlibyśmy do obliczenia w ten sam sposób bez zastanawiania się, jak możemy pogrupować te cztery pytania w zestawy po trzy.
Jak obliczyć kombinatorykę bez powtórzeń?
Formuła kombinatoryka bez powtórzeń to:
Gdzie:
- nie = Suma obserwacji
- x = Liczba wybranych pozycji
Przykład kombinatoryczne bez powtórzeń
Wyobraźmy sobie pluton wojskowy złożony z 12 żołnierzy. Kapitan armii chce utworzyć grupy 2 żołnierzy, aby przeniknąć za liniami wroga w różnych punktach, ile różnych grup może utworzyć?
Aby rozwiązać problem, najpierw musimy określić całkowitą liczbę elementów. W tym przypadku jest w sumie 12 żołnierzy, więc mamy już n. Ponieważ kapitan chce grup po 2, wiemy już, jakie jest nasze x. Wiedząc o tym, możemy podstawić we wzorze i mieć liczbę kombinacji grup równą 2.
- nie = 12
- x = 2
Zastępując:
Stosując silnię do mianownika, otrzymalibyśmy 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Jako mianownik mamy 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Nasz numer kombinatoryczny to = 479 001 600 / 7 257 600 = 66.
Jak widać, kapitan może sformować 66 różnych par żołnierzy spośród 12, którymi dysponuje.