Czworościan to wielościan o czterech ścianach, sześciu krawędziach i czterech wierzchołkach. Jest to trójwymiarowa figura utworzona z kilku wielokątów, które w tym przypadku są trójkątami.
Czworościan charakteryzuje się tym, że jest najprostszym z wielościanów i jedynym, który ma mniej niż pięć boków.
Warto wspomnieć, że czworościan to piramida o podstawie trójkątnej.
Elementy czworościanu
Elementy czworościanu, prowadzące nas z poniższego rysunku, to:
- Twarze: Są to boki czworościanu, które, jak wspomnieliśmy, są trójkątami (ABC, ADC, ADB i BDC.
- Krawędzie: Jest to połączenie dwóch twarzy: AB, AC, AD, BC, CD i DB.
- Wierzchołki: Są to te punkty, w których stykają się krawędzie: A, B, C i D.
- Kąt dwuścienny: Powstaje przez połączenie dwóch twarzy.
- Kąt wielościanu: Jest to taki, który składa się z boków, które pokrywają się w jednym wierzchołku.
Powierzchnia i objętość czworościanu
Aby poznać cechy czworościanu możemy obliczyć:
- Powierzchnia: Należałoby dodać obszar czterech trójkątów tworzących wielościan. W tym sensie musimy pamiętać, że powierzchnię trójkąta oblicza się mnożąc podstawę przez wysokość i dzieląc przez 2 (A = bxh / 2)
- Tom: Zostałby obliczony za pomocą następującego wzoru
We wzorze b jest dowolną ścianą wielościanu, a h jest wysokością lub segmentem, który łączy b z przeciwległym wierzchołkiem. Ponadto wysokość jest prostopadła do podstawy (tworzą kąt prosty lub mierzący 90º).
Czworościan regularny
Kiedy wszystkie trójkąty tworzące czworościan są trójkątami równobocznymi identycznymi ze sobą, mamy do czynienia z regularnym czworościanem. To znaczy, byłby to przypadek wielościanu foremnego, którego ściany są takie same i każdy z nich jest również wielokątem foremnym.
W tym momencie musimy pamiętać, że wielokąt foremny to taki, w którym wszystkie boki mają tę samą długość, a ich kąty wewnętrzne są również równe.
Przypomnijmy, że pole (A) trójkąta równobocznego można obliczyć za pomocą wzoru Herona, gdzie a, b i c to wymiary boków, a s to półobwód, czyli obwód (P) między nimi.
W takim razie tak:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Musimy:
Następnie, ponieważ są cztery trójkąty, mnożymy powierzchnię każdego przez 4, aby znaleźć powierzchnię czworościanu (AT):
Z drugiej strony, jeśli chcemy obliczyć objętość, musimy znaleźć wysokość wielościanu. W tym celu kierujemy się następującym obrazem:
Najpierw obliczymy wysokość (h) podstawy (w tym przykładzie trójkąt ABC), która jest odcinkiem EB. Kąt X mierzy 90º, więc twierdzenie Pitagorasa musi być spełnione, a przeciwprostokątna (BA), która mierzy a (długość wszystkich krawędzi w tym czworościanie), jest równa sumie kwadratów każdej nogi. Jedna z nóg to EA, jest środkiem odcinka AC (E tnie bok na dwie równe części) i mierzy a/2. Również druga noga to wysokość podstawy (h lub EB).
Następnie, zgodnie z właściwością czworościanu foremnego, gdzie F jest środkiem trójkąta, EF będzie stanowić jedną trzecią odcinka EB, czyli jedną trzecią h.
W następnym kroku, aby znaleźć wysokość czworościanu (DF), możemy ponownie zastosować twierdzenie Pitagorasa, ponieważ ponieważ wysokość jest prostopadła, kąt Y jest prosty (mierzy 90º).
Patrząc na trójkąt DEF, przeciwprostokątną jest DE, która jest wysokością trójkąta ADC, a ponieważ wszystkie ściany są równe, jest to ta sama wysokość h trójkąta ABC. Z kolei jedna noga to wysokość czworościanu (DF), który nazwiemy ht, a druga noga to odcinek EF, który już obliczyliśmy. W związku z tym:
Na koniec, aby znaleźć objętość czworościanu (V), jak wyjaśniliśmy wcześniej, mnożymy wysokość figury (ht) przez obliczoną powyżej powierzchnię podstawy (A) i dzielimy ją przez trzy:
Przykład czworościanu
Zakładając, że czworościan jest regularny, a każdy bok jego ścian ma 20 metrów. Jaka jest powierzchnia (AT) i objętość (V) figury?
