Twierdzenie Thalesa to prawo geometrii, które mówi nam, że jeśli narysujemy linię równoległą do obu boków trójkąta, otrzymamy trójkąt podobny do pierwotnego trójkąta.
Innymi słowy, jeśli wytniemy trójkąt rysując linię równoległą do jednego z jego boków, otrzymamy trójkąt podobny do istniejącego wcześniej.
W tym miejscu należy zauważyć, że dwa trójkąty są podobne, gdy odpowiadające im kąty są przystające (mierzą to samo), a ich boki homologiczne są do siebie proporcjonalne.
Aby lepiej to zrozumieć, spójrzmy na poniższy rysunek:
Z twierdzenia Talesa można wywnioskować, że α = δ i β = ε
Dodatkowo, jak wspomnieliśmy wcześniej, boki są proporcjonalne, więc prawdą jest, że:
Anegdota opowiedziana przez historyka Plutarcha mówi, że Tales z Miletu podczas jednej ze swoich podróży wykorzystał to twierdzenie, aby poznać wysokość piramid w Gizie (Cheopsa, Chefrena i Menkaure) w Egipcie. Postanowił więc przyłożyć patyk pionowo do ziemi, czekając, aż długość przedmiotu będzie równa rzucanemu przez niego cieniowi. W tym czasie cień piramidy również byłby równy jej wysokości. W tym przypadku podobne trójkąty to:
- Ten, którego dwie strony to pręt i jego cień.
- Trójkąt, którego jeden bok ma wysokość piramidy, a drugi bok cień.
Aby to lepiej zrozumieć, wyobraźmy sobie na powyższym rysunku, że piramida jest tą utworzoną przez wierzchołki D, E i F, jej wysokość to odcinek HE, a jej cień IE. Tymczasem pręt to odcinek AB i jego cień CB. Dlatego AB / CB = HE / IE. To biorąc pod uwagę, że promienie słoneczne są równoległe (nie przecinają się ani nie są w ich przedłużeniu), więc utworzą z prętem taki sam kąt jak z piramidą (kąty α i β są równe).
Przykład twierdzenia Thalesa
Aby lepiej zrozumieć twierdzenie Thalesa, spójrzmy na następujący rysunek:
Jeśli BC mierzy 7,3 metra, DE mierzy 3,6 metra, a AB mierzy 6,2 metra. Jaka jest długość AD?
Izolujemy w przedstawionym wcześniej wzorze i mamy:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 metra
Rozszerzenie twierdzenia Thalesa
Twierdzenie Thalesa można rozszerzyć do analizy dowolnych dwóch linii, które są przecięte innymi liniami równoległymi do siebie, jak widać na poniższym obrazku:
Wtedy prawdą jest, że:
Jest to prawdą, ponieważ musimy myśleć o tych liniach jako o części trójkąta lub inaczej, jeśli przedłużymy linie AB i CD, będą się one przecinać. Lepiej zobaczymy to na poniższym obrazku:
Drugie twierdzenie Talesa
Istnieje również drugie twierdzenie Thalesa, zgodnie z którym, jeśli mamy trójkąt utworzony przez średnicę obwodu i dwie przecinające go proste (przecinają figurę w dwóch punktach), to kąt przeciwny do średnicy jest prawidłowy, czyli , , mierzy 90º.
Należy pamiętać, że średnica to ten odcinek, który przechodząc przez środek obwodu łączy dwa przeciwległe punkty wspomnianej figury.
Widzimy to lepiej na poniższym obrazku:
Możemy sprawdzić to twierdzenie biorąc pod uwagę, że AC, AD i AB mierzą to samo i są równe promieniowi obwodu (promień to dowolny odcinek, który łączy punkt na obwodzie ze środkiem figury i jest równy połowie średnica). Tak więc trójkąty ABC i ABD są równoramienne, a ich dwa boki, które są podobne, są kątami przeciwległymi, które również mierzą to samo, to znaczy:
AC = AD = AB = r (promień obwodu)
γ = β i α = δ
Następnie, jeśli widzimy trójkąt CBD i pamiętamy, że kąty wewnętrzne trójkąta muszą się sumować do 180º, mamy:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Dlatego trójkąt CBD jest trójkątem prostokątnym.