Środek ciężkości trójkąta to punkt, w którym przecinają się mediany figury. Znany jest również jako środek ciężkości.
Należy pamiętać, że mediana to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem jego przeciwnej strony. Tak więc każdy trójkąt ma trzy mediany.
Na przykład w powyższym trójkącie środek ciężkości znajduje się w punkcie O, a mediany to odcinki AF, BD i CE.
Ważną właściwością środka ciężkości jest to, że jego odległość od każdego wierzchołka jest dwukrotnie większa od odległości od przeciwnej strony.
Aby to lepiej wyjaśnić, w każdej medianie można wyróżnić dwie części:
- Odległość od wierzchołka do środka ciężkości, która stanowi 2/3 długości mediany
- Pozostała 1/3, czyli odległość od środka ciężkości do środka przeciwnej strony.
Na powyższym obrazku na przykład prawdą jest, że:
Jak znaleźć środek ciężkości trójkąta
Aby znaleźć środek ciężkości trójkąta, musimy wziąć pod uwagę, że znając współrzędne trzech wierzchołków trójkąta, współrzędne środka ciężkości odpowiadają jego średniej arytmetycznej. Załóżmy więc, że wierzchołki to:
Wówczas współrzędne środka ciężkości, który nazwiemy O, byłyby:
Teraz można również znaleźć środek ciężkości, jeśli mamy równania prostych, które zawierają co najmniej dwie mediany.
Przypomnijmy, że w geometrii analitycznej prostą można wyrazić jako równanie algebraiczne pierwszego rzędu jako:
y = xm + b
W przedstawionym równaniu y to współrzędna na osi rzędnych (pionowej), x to współrzędna na osi odciętej (pozioma), m to nachylenie (nachylenie) tworzące linię w stosunku do osi odciętej, a b to punkt, w którym linia przecina oś rzędnych.
Aby lepiej zrozumieć powyższe, spójrzmy na przykład.
Przykład środka ciężkości
Załóżmy, że mamy trójkąt, którego dwa wierzchołki znamy:
A (0,4) i B (-2,1)
Teraz wiadomo, że środek boku przeciwległego do wierzchołka A to (3,1), a środek boku przeciwległego do wierzchołka B to (4, 2,5). Warto wyjaśnić, że używamy średnika, aby nie pomylić go z przecinkiem oddzielającym ułamki dziesiętne.
Najpierw znajdziemy równanie prostej zawierającej medianę rozpoczynającą się od wierzchołka A, biorąc pod uwagę, że nachylenie przy przechodzeniu z jednego punktu do drugiego musi być zawsze takie samo. Nachylenie to zmiana w osi pionowej między zmianą w osi poziomej:
Założyliśmy, że prosta przechodzi przez punkt (x1, y1), który jest wierzchołkiem A (0, 4), oraz przez punkt (x2, y2), który jest środkiem przeciwnej strony (3 , 1).
Następnie robimy to samo z wierzchołkiem B (-2,1) i środkiem jego przeciwnej strony (-4, -2,5):
W następnym kroku wyrównujemy prawą stronę dwóch znalezionych równań, aby znaleźć wartość na osi X, gdy oba się pokrywają:
Następnie rozwiązujemy dowolne równanie, aby znaleźć wartość y:
Dlatego środkiem ciężkości trójkąta jest punkt (2,2) na płaszczyźnie kartezjańskiej.