Termin wypukły jest używany do opisania powierzchni, która wykazuje krzywiznę, której środek stanowi najbardziej wyeksponowany bok.
Dlatego mówimy, że wnętrze kuli lub trampoliny (jak ta, na której bawią się dzieci) jest wypukłe. Wynika to z faktu, że jego środkowa część charakteryzuje się większym osiadaniem.
Można analizować, czy figury geometryczne są wypukłe, na przykład w przypadku paraboli, gdy ma ona kształt litery U.
Nauczająca sztuczka zapamiętania wypukłości polega na pomyśleniu, że kształt wypukłej krzywizny przypomina uśmiechniętą buźkę.
Ponadto, chociaż odnieśliśmy się do właściwości wypukłości jako czegoś, co ma krzywą, ma ona również zastosowanie do funkcji matematycznych i wielokątów, jak zobaczymy poniżej.
Jak sprawdzić, czy funkcja jest wypukła?
Jeśli druga pochodna funkcji jest większa od zera w punkcie, to funkcja jest w tym punkcie wypukła, w swojej reprezentacji graficznej.
Powyższe formalnie wyraża się w następujący sposób:
f »(x)> 0
Na przykład funkcja f(x) = x2 + x + 3. Jej pierwsza pochodna f '(x) = 2x +1 i jej druga pochodna f »(x) = 2. Zatem funkcja f(x) = x2 + x + 3 jest wypukła dla dowolnej wartości x, jak widać na poniższym obrazku, która jest parabolą:
Teraz wyobraźmy sobie tę inną funkcję f (x) = - x3 + X2 + 3. Jej pierwsza pochodna f '(x) = -3x2 + 2x i jej druga pochodna f »(x) = -6x + 2. Po obliczeniu drugiej pochodnej musimy sprawdzić dla jakich wartości x funkcja f (x) = -x3 + X2 + 3 jest wypukły.
Zatem ustalamy drugą pochodną równą 0:
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
x = 0,33
Dlatego funkcja jest wypukła, gdy x jest mniejsze niż 0,33, ponieważ druga pochodna równania jest dodatnia. Możemy to sprawdzić podmieniając różne wartości x. Podobnie funkcja staje się wklęsła, gdy x jest większe niż 0,33, jak widać na poniższym wykresie.
Wielokąt wypukły
Wielokąt wypukły to taki, w którym prawdą jest, że dwa punkty, dowolny z figur, mogą być połączone linią prostą, która zawsze pozostanie wewnątrz wielokąta. Ponadto wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180º. Możemy pomyśleć na przykład o kwadracie lub ośmioboku foremnym.
Przeciwieństwem jest wielokąt wklęsły. To znaczy takiej, w której, aby przynajmniej połączyć dwa jej punkty, należy narysować linię częściowo lub całkowicie poza figurą. Jak widać w poniższym porównaniu:
