Paradoks Sankt Petersburga to paradoks obserwowany przez Nicolausa Bernoulliego, który ma swój powód do uprawiania hazardu. Ten paradoks mówi nam, że w teorii decyzji wszystkie zakłady są akceptowane, niezależnie od ich wartości, nawet jeśli ta wartość pokazuje nam, że nie jest to racjonalna decyzja.
Paradoks petersburski, abyśmy dobrze go rozumieli, był paradoksem opisanym przez Nicolausa Bernoulliego, po zaobserwowaniu hazardu, dlatego ten paradoks istnieje.
Teoria gierW tym sensie paradoks mówi nam, że teoria formułowanych decyzji pokazuje nam, że racjonalna decyzja w grze bukmacherskiej jest wszystkim, niezależnie od kwoty, jaką zakłada każdy zakład. Jednak poprawnie analizując tę sytuację i dokładnie odnosząc się do teorii, zauważamy, że żadna racjonalna istota nie zdecydowałaby się na podjęcie decyzji o obstawieniu kwoty bliskiej nieskończoności, chociaż teoria wskazuje, że jest to racjonalne. Z tego powodu powstaje paradoks.
Początkowo paradoks ten obserwuje Nicolaus Bernoulli, jak wynika z listu wysłanego przez niego do Pierre'a de Montmort, francuskiego arystokraty i matematyka, 9 września 1713 roku.
Ponieważ jednak badania Mikołaja nie przyniosły rezultatów, przedstawił paradoks swojemu kuzynowi Danielowi Bernoulliemu w 1715 r., matematykowi pochodzenia holenderskiego i rektorowi Uniwersytetu w Bazylei, który spotykając się w Petersburgu z wybitną grupą naukowców, a po lat badań, opublikował w 1738 roku nowy system pomiarowy w swojej pracy „Ekspozycja nowej teorii pomiaru ryzyka”.
Model zaproponowany przez Daniela, w przeciwieństwie do tego, który zaproponował Mikołaj, kładzie podwaliny pod to, co później udoskonali i uzupełni teorię oczekiwanej użyteczności.
Formuła paradoksu w Petersburgu
Sformułowanie zaproponowane przez Nicolausa Bernoulli kuzynowi i Pierre'owi de Montmort jest następujące:
Wyobraźmy sobie grę hazardową, w której gracz oczywiście musi zapłacić pewną sumę, aby wziąć udział.
Załóżmy, że gracz stawia na reszki i rzuca monetą sukcesywnie aż do resztek. Po reszkach gra zostaje zatrzymana, a gracz otrzymuje 2$^n.
Tak więc, jeśli reszka, gracz najpierw wygrywa 2 1, co daje 2 $. Ale jeśli znowu reszka, dostanie 2^2, czyli 4 dolary i tak dalej. Jeśli wyjdzie ponownie, będzie to 8 dolarów, co stanowi równowartość 2^3; natomiast jeśli wyjdzie czwarty raz, nagroda wyniesie 16 dolarów, czyli reprezentacja 2^4.
Zatem pytanie Mikołaja brzmiało: Biorąc pod uwagę wspomnianą wyżej sekwencję i zysk, ile gracz byłby skłonny zapłacić za tę grę, nie tracąc przy tym racjonalności?
Przykład paradoksu petersburskiego
Biorąc pod uwagę sformułowanie zaproponowane przez Mikołaja i wątpliwości, jakie zadał francuskiemu matematykowi i jego kuzynowi, zobaczmy na przykład przyczynę tego paradoksu, aby zrozumieć, co mamy na myśli.
Przede wszystkim musimy wiedzieć, że przed rozpoczęciem gry mamy nieskończoną liczbę możliwych wyników. Cóż, nawet jeśli prawdopodobieństwo wynosi 1/2, reszki mogą wypaść dopiero przy ósmym rzucie.
Dlatego prawdopodobieństwo pojawienia się tego krzyża podczas rzutu k wynosi:
Pk = 1 / 2k
Również zysk to 2 tys.
Kontynuując rozwój, pierwsze reszki na pierwszym rzucie dają przewagę 21 (2 USD) i prawdopodobieństwo 1/2. Reszki w 2. próbie zyskują 22 (4 dolary) i prawdopodobieństwo 1/22; natomiast jeśli wypadnie w trzeciej próbie, gracz ma wygraną 23 (8 USD) i prawdopodobieństwo 1/23. Jak widzimy, relacja, która się przedłuża, dopóki dodamy biegi.
Zanim przejdziemy dalej, należy zauważyć, że w teorii decyzji oczekiwanie matematyczne (EM) lub oczekiwaną wygraną w grze nazywamy sumą nagród związanych z każdym możliwym wynikiem gry, a wszystkie z nich są ważone przez prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z tych wyników.
Jeśli weźmiemy pod uwagę podejście, które pokazuje ten paradoks, to widzimy, że grając prawdopodobieństwo wygranej 2 zł wynosi 1/2, ale dodatkowo prawdopodobieństwo wygranej 4 wynosi 1/4, a 8 zł wynosi 1/8. To, aż do osiągnięcia sytuacji, takich jak wygrana 64 dolarów, prawdopodobieństwo tego przypadku wynosi 1/64.
Tak więc z tymi wynikami, jeśli obliczymy matematyczne oczekiwanie, czyli to, co znamy jako oczekiwaną wygraną w grze, musimy dodać wygrane wszystkich możliwych wyników ważone prawdopodobieństwem ich wystąpienia, tak aby wynik pokazał nam nieskończoną liczbę wartość .
Jeśli podążamy za teorią wyboru, mówi nam ona, że powinniśmy postawić dowolną kwotę za prosty fakt, że każda decyzja jest dla nas korzystna. Faktem jest, że jest to paradoks, ponieważ racjonalnie rzecz biorąc, gracz nie będzie obstawiał w nieskończoność, nawet jeśli popycha go do tego teoria.
Znaczący paradoks
Wielu było matematykami, którzy próbowali rozszyfrować paradoks zaproponowany przez Bernoulliego, ale jest też wielu, którzy nie byli w stanie go rozwiązać.
Tak więc istnieje wiele przykładów, które pokazują nam, jak paradoks próbowali rozwiązać matematycy, którzy zajęli się zarówno strukturą gry, jak i decyzjami samych jednostek. Jednak do tej pory nadal nie możemy znaleźć odpowiedniego rozwiązania.
I chodzi o to, że aby zorientować się w złożoności tego paradoksu, biorąc pod uwagę teorię wyboru w tym przykładzie, jako możliwą nagrodę przyjmujemy po przeliczeniu nieskończoną liczbę monet, które nawet zakładając, że byłoby to możliwe, byłoby to niezgodne z samym systemem monetarnym, ponieważ jest to pieniądz, który, wbrew temu, co mówi paradoks, jest ograniczony.
