Logarytm naturalny - Co to jest, definicja i pojęcie

Logarytm naturalny ln (x) jest odwrotnością funkcji wykładniczej i zdefiniowane w x tylko dla dodatnich liczb rzeczywistych.

Intuicyjnie logarytm naturalny ma rozwiązać następujące równanie:

i^Tak= x

Gdzie „y” byłoby wynikiem, którego szukamy. Oznacza to, że jeśli x wynosi 20, ile „y” musi być warte, gdy podnosimy je do „e”, aby równanie było spełnione. Na przykład wynik ln (20)

i^Tak= 20 ⇒ r = 3

Biorąc pod uwagę, że liczba „e” jest warta 2,7182818… weryfikujemy, że jeśli podniesiemy ją do 3, to rzeczywiście otrzymamy 20,07. Dzieje się tak, ponieważ logarytm naturalny liczby 20 wynosi w rzeczywistości 2,99. Ale w tym przykładzie użyliśmy 3, aby to ułatwić.

Dziedzina logarytmu naturalnego

Matematycznie domeną logarytmu naturalnego jest:

(x ∈ ℜ: x> 0)

Oznacza to, że x musi być liczbą rzeczywistą większą od zera. W przeciwnym razie funkcja nie istnieje. Sposób sprawdzenia tego jest naprawdę prosty. Musimy to sprawdzić tylko liczbą równą zero lub mniej. Na przykład:

i^Tak= 0 ⇒ y = Nie ma wyniku

Nie ma liczby „y”, która po podniesieniu do „e” daje zero. Możemy zbliżyć się do zera, ale wynik nigdy nie będzie zerem.

W bardziej precyzyjny sposób możemy rozszerzyć definicję poza liczby rzeczywiste dodatnie na liczby zespolone. Dla dowolnego ujemnego rzeczywistego x określilibyśmy, gdzie efektywnie ja odpowiada pierwiastkowi kwadratowemu z (-1). Jest to jednak bardziej zaawansowana uwaga i nie jest obiektywne umieszczanie w tym wyjaśnieniu szczegółów dotyczących liczb zespolonych.

Graficzna reprezentacja logarytmu naturalnego

Graficzna reprezentacja tej funkcji to:

Pamiętając, że reprezentowana przez nas funkcja to i^Tak= x, widzimy to, gdy zmienia się wartość „y”, podobnie jak zmienia się wartość „x”. Sprawdźmy, czy wykres jest zgodny z równaniem. Widzimy, że gdy „y” wynosi zero, to „x” jest równe 1. Stosując równanie:

i^Tak= 0 ⇒ e⁰=1

Rzeczywiście, w matematyce wiemy, że każda liczba podniesiona do 0 daje 1.

Zastosowanie w finansach i ekonomii

W finansach brane są pod uwagę tylko realne wartości dodatnie, ponieważ są one zwykle używane do ciągłego obliczania zysków z notowanych cen aktywów finansowych. Ceny są zazwyczaj dodatnie, więc spełniają ograniczenie (x>0), gdzie x jest w tym przypadku ceną.

Najczęstszym zastosowaniem w ekonomii są analizy ekonometryczne, gdzie proste i/lub wielokrotne regresje zawierają logarytmy w równaniach w celu zapewnienia stabilności regresorów, zmniejszenia nietypowych obserwacji i ustalenia różnych poglądów na estymację, między innymi.

Ostatecznie powodem, dla którego logarytmy naturalne są wykorzystywane w ekonometrii, jest ułatwienie wykonywania operacji. Logarytmy mają pewne właściwości, które pozwalają na stosunkowo szybkie i łatwe wykonywanie złożonych operacji matematycznych.