Średnia warunkowa to średnia z zestawu danych, który zmienia się, jeśli ten zestaw danych zostanie zmodyfikowany. Można ją również uznać za wartość oczekiwaną rozkładu prawdopodobieństwa plus składnik błędu.
Innymi słowy, warunkowa średnia zależy (jest uwarunkowana) przez dane próbki. W związku z modyfikacjami tych danych zmieni się również średnia warunkowa.
Warunkowa średnia wraz z warunkowym równaniem wariancji stanowią podstawę modelu autoregresyjnego i modelu średniej ruchomej.
Polecane artykuły: teoria błądzenia losowego, twierdzenie Gaussa-Markowa, model autoregresyjny, oczekiwanie matematyczne.
Równanie średniej warunkowej
Gdzie c jest stałą podaną przez estymację zwykłych najmniejszych kwadratów (OLS) i
jest terminem błędu w czasie t.
Mówimy po prostu, że aby otrzymać prognozę zmiennej X w czasie t, używamy stałej c i składnika błędu.
Ta stała c reprezentuje średnią i jest otrzymywana przez estymację MNK. Zatem nasze przewidywanie dotyczące X w czasie t zależy od wartości średniej (wartości oczekiwanej) i błędu oszacowania.
Chociaż to równanie może nie wydawać ci się zbyt znajome, z pewnością używałeś go wiele razy potajemnie.
Powyższe równanie można przepisać jako:
Jeśli wyizolujemy termin błędu, otrzymamy:
Czy to brzmi znajomo?
To równanie jest definicją pojęcia błędu par excellence, ponieważ błąd będzie różnicą między rzeczywistą wartością rzeczywistą zmiennej X a naszym oszacowaniem przez MNK (wartość średnia). Zmienną zależną w oszacowaniu MNK jest średnia (wartość oczekiwana) podana w obserwacjach.
Autoregresyjne równanie średniej warunkowej
Zaczynamy od równania początkowej średniej warunkowej:
Dodajemy regresor i opóźnioną zmienną niezależną, tak aby:
Chociaż to równanie może wydawać ci się jeszcze mniej znajome, z pewnością użyłeś go potajemnie kilka razy.
Powyższe równanie można przepisać jako proces autoregresji pierwszego rzędu lub AR (1):
Czy to brzmi znajomo?
Z tą modyfikacją w równaniu średniej warunkowej mówimy, że przyszła wartość zmiennej Xt zależy od stałej c a wartość tej samej zmiennej o okres czasu przed bieżącą (t-1). Ta zależność czasowa implikuje, że obserwacje zmiennej Xt nie są one od siebie niezależne, dlatego proces stochastyczny ma charakter trendowy, a nie stacjonarny.
Aplikacja
Na rynkach finansowych częściej stosuje się autoregresyjną średnią warunkową, ponieważ ceny aktywów podążają za trendem (w górę, w dół lub w bok), a zatem nie są całkowicie losowe (niezależne obserwacje między nimi).