Transponowana macierz jest wynikiem zmiany kolejności pierwotnej macierzy poprzez zmianę wierszy po kolumnach i kolumn po wierszach w nowej macierzy.
Innymi słowy transponowana macierz to czynność wybierania wierszy z oryginalnej macierzy i przepisywania ich jako kolumn w nowej macierzy i odwracania procesu dla kolumn.
Generalnie, gdy zmieniamy wiersze na kolumny i kolumny na wiersze, wskazujemy to, dodając indeks górny T lub apostrof w nazwie oryginalnej macierzy. Jeśli dodamy indeks górny T, musimy pamiętać, że pracujemy z macierzami i że indeks górny nie jest wykładnikiem.
Polecany artykuł: operacje na macierzach.
Wzór macierzy transponowanej nxm
Biorąc pod uwagę macierz Z każdy, kto ma n wierszy i m kolumn, może skonstruować transponowaną macierz, ZT, który będzie miał m wierszy i n kolumn.
Transpozycja macierzy kwadratowej
W zależności od typologii macierzy, kolejność macierzy również zmieni się, gdy dokonamy jej transpozycji.
Nieruchomości
Biorąc pod uwagę macierz Z poprzedni,
- Transpozycja transponowanej macierzy jest macierzą oryginalną.
- Transponowana suma macierzy jest równa sumie transponowanych macierzy.
- Transponowany iloczyn stałej h przez macierz jest równy iloczynowi stałej h przez transponowaną macierz.
- Transponowany iloczyn mnożenia macierzy jest równy iloczynowi transponowanego mnożenia macierzy.
Aplikacje
Transponowane macierze są bardziej obecne niż nam się wydaje. W ekonometrii znajdujemy transpozycje, gdy wyrażamy macierze w formie kwadratowej. Podobnie wzór na estymator zwykłych najmniejszych kwadratów (OLS) w postaci macierzowej:
Przykład teoretyczny
Znajdź macierz transpozycji następujących macierzy:
