Wielomian Taylora jest wielomianowym przybliżeniem funkcjinie czasy możliwe do uzyskania w określonym punkcie.
Innymi słowy, wielomian Taylora jest skończoną sumą lokalnych pochodnych obliczonych w określonym punkcie.
Matematycznie
Definiujemy:
f (x): funkcja x.
f (x0): funkcja zxw określonym punkcie x0. Formalnie jest napisane:
fa(n)(x):nie-ta pochodna funkcji f (x).
Aplikacje
Rozszerzenie Taylora jest generalnie stosowane do aktywów finansowych i produktów, których cena jest wyrażona jako funkcja nieliniowa. Na przykład cena krótkoterminowego dłużnego papieru wartościowego jest funkcją nieliniową, która zależy od stóp procentowych. Innym przykładem mogą być opcje, w których zarówno czynniki ryzyka, jak i rentowność są funkcjami nieliniowymi. Obliczenie czasu trwania wiązania jest wielomianem Taylora pierwszego stopnia.
Przykład wielomianu Taylora
Chcemy znaleźć drugi rząd aproksymacji Taylora funkcji f (x) w punkcie x0=1.
1. Wykonujemy odpowiednie pochodne funkcji f(x).
W tym przypadku pytają nas aż do drugiego rzędu, więc zrobimy pierwszą i drugą pochodną funkcji f (x):
- Pierwsza pochodna:
- Druga pochodna:
2. Zastępujemy x0= 1 w f (x), f '(x) i f' '(x):
3. Gdy już mamy wartość pochodnych w punkcie x0= 1, podstawiamy go w przybliżeniu Taylora:
Trochę naprawiamy wielomian:
Sprawdzanie wartości
Aproksymacja Taylora będzie adekwatna im bliżej x0 być wartościami. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości bliskie x0 zarówno w pierwotnej funkcji, jak i w przybliżeniu Taylora powyżej:
Kiedy x0=1
Oryginalna funkcja:
Przybliżenie Taylora:
Kiedy x0=1,05
Oryginalna funkcja:
Przybliżenie Taylora:
Kiedy x0=1,10
Oryginalna funkcja:
Przybliżenie Taylora:
W pierwszym przypadku, gdy x0= 1, widzimy, że zarówno pierwotna funkcja, jak i przybliżenie Taylora dają nam ten sam wynik. Wynika to ze składu wielomianu Taylora, który stworzyliśmy za pomocą lokalnych pochodnych. Te pochodne zostały oszacowane w określonym punkcie, x0= 1, aby uzyskać wartość i utworzyć wielomian. Więc im dalej od tego konkretnego punktu, x0= 1, tym mniej odpowiednie będzie przybliżenie dla pierwotnej funkcji nieliniowej. W przypadkach, gdy x0= 1,05 i x0= 1,10 istnieje znacząca różnica między wynikiem funkcji pierwotnej a przybliżeniem Taylora.
Ale… różnica jest bardzo mała, prawda?
Reprezentacja wielomianowa Taylora
Jeśli rozszerzymy ekstrema (gdzie przybliżenie oddala się od x0=1):
Na pierwszy rzut oka może się to wydawać nieistotne, ale kiedy pracujemy nad wykresem i dokonujemy przybliżeń, bardzo ważne jest uwzględnienie co najmniej czterech pierwszych miejsc po przecinku. Podstawą przybliżeń jest precyzja.
