Przecięcie zdarzeń to operacja, której wynik składa się z niepowtarzających się i wspólnych zdarzeń dwóch lub więcej zestawów.
Mówiąc prościej, biorąc pod uwagę dwa zdarzenia A i B, powiemy, że ich przecięcie składa się ze wspólnych zdarzeń elementarnych. Moglibyśmy również wskazać, że przecięcie wydarzeń implikuje odpowiedź na pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że A i B wystąpią w tym samym czasie?
Symbol oznaczający przecięcie jest następujący: ∩. To jest jak odwrócone U. Tak więc, jeśli chcemy oznaczyć punkt przecięcia A i B, postawilibyśmy: A ∩ B
Uogólnienie skrzyżowania wydarzeń
W wyjaśnieniu do tej pory widzieliśmy skrzyżowanie dwóch wydarzeń. Na przykład A ∩ B lub B ∩ A. Co się stanie, jeśli mamy więcej niż dwa zdarzenia?
Uogólnienie przecięcia się zdarzeń daje nam rozwiązanie na oznaczenie przecięcia np. 50 zdarzeń. Załóżmy, że mamy 7 zdarzeń, użyjemy następującej notacji:
Zamiast nazywać każde zdarzenie A, B lub jakąkolwiek literą, nazwiemy Tak. S to zdarzenie, a indeks dolny i wskazuje liczbę. W ten sposób otrzymamy na przykładzie 7 zdarzeń następującą formułę:
To, co zrobiliśmy, to opracowanie notacji. To po prostu zobaczyć, co to znaczy, ale tylko poprzez postawienie tego, co jest przed równymi, będziesz wiedział, co oznacza ten rozwój. W powyższym, intuicyjnie, powiedzielibyśmy "wyjście S1 i wyjście S2 i wyjście S3 i wyjście S4 i wyjście S5 i wyjście S6 i wyjście S7". Oznacza to, że byłyby wspólnymi elementami, które mają 7 wydarzeń.
Przecięcie zdarzeń rozłącznych i nierozłącznych
Przecięcie rozłącznych wydarzeń po prostu nie może istnieć. Oczywiście, jeśli dwa wydarzenia są rozłączne, powiemy, że nie mają ze sobą elementów wspólnych. A jeśli nie mają wspólnych elementów, wynikiem jest zbiór pusty lub zdarzenie niemożliwe.
W przypadku zdarzeń nierozłącznych wynikiem przecięcia będą elementy wspólne. Zobaczmy przykład, dlaczego przecięcie rozłącznych zdarzeń nie może istnieć:
Załóżmy, że mamy przestrzeń próbną złożoną z (1,2,3,4,5,6) gdzie:
O: Niech pojawi się 1 lub 2 (1,2)
B: To wychodzi większe lub równe 5 (5,6)
A ∩ B =
Nie ma skrzyżowania. To wydarzenie niemożliwe. Dzieje się tak, ponieważ wydarzenia są rozłączne. Oznacza to, że nie mają wspólnych elementów.
Z kolei przecięcie nierozłącznych zdarzeń oblicza się jako:
Właściwości przecięcia wydarzeń
Związek zdarzeń jest rodzajem operacji matematycznej. Niektóre rodzaje operacji to także dodawanie, odejmowanie, mnożenie. Każdy z nich ma szereg właściwości. Na przykład wiemy, że wynik dodania 3 + 4 jest dokładnie taki sam, jak wynik dodania 4 +3. W tym momencie związek zdarzeń ma kilka właściwości, o których warto wiedzieć:
- przemienne: Oznacza to, że kolejność, w jakiej jest napisana, nie zmienia wyniku. Na przykład:
- A ∩ B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- Asocjacyjny: Zakładając, że są trzy wydarzenia, nie obchodzi nas, które z nich zrobić jako pierwsze, a które następne. Na przykład:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Dystrybucyjny: Gdy uwzględnimy typ operacji przecięcia, obowiązuje własność rozdzielności. Wystarczy spojrzeć na następujący przykład:
- A (BU C) = (A U B) U (A U C)
Patrząc na te właściwości, możemy łatwo zobaczyć, że są one dokładnie takie same, jak w przypadku unii zdarzeń.
Przykład skrzyżowania zdarzeń
Prosty przykład połączenia dwóch zdarzeń A i B byłby następujący. Załóżmy przypadek rzutu doskonałą kostką. Kość, która ma sześć ścian ponumerowanych od 1 do 6. W taki sposób, że wydarzenia są zdefiniowane poniżej:
DO: Że jest większe niż 2. (3,4,5,6) z prawdopodobieństwem 4/6 => P (A) = 0,67
DO: Niech wyjdzie pięć. (5) prawdopodobieństwo wynosi 1/6 => P (C) = 0,17
Jakie jest prawdopodobieństwo A ∩ C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Ponieważ P (A) i P (C) już to mają, obliczymy P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) w prawdopodobieństwach P (A U C) = 4/6 = 0,67
Efektem końcowym jest:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
Prawdopodobieństwo, że wyjdzie większe niż 2, a jednocześnie wyjdzie pięć, wynosi 17%.