Twierdzenie Darmoisa to twierdzenie, które pozwala znaleźć statystykę T dla parametru θ o własności wystarczającej.
Mówiąc prościej, pozwala znaleźć matematyczne wyrażenie, jeśli takie istnieje, wystarczającej statystyki.
W odniesieniu do kryterium faktoringu Fishera-Neymana możemy wziąć pod uwagę. Kryterium faktoryzacji Fishera-Neymana służy zarówno do sprawdzenia, czy statystyka spełnia właściwość dostatecznej, jak i do znalezienia matematycznego wyrażenia statystyki dostatecznej (jeśli istnieje). Natomiast twierdzenie Darmoisa pozwala jedynie na znalezienie matematycznego wyrażenia (jeśli istnieje) wystarczającej statystyki.
Załóżmy, że podczas gdy kryterium faktoryzacji Fishera-Neymana przesuwa się do przodu (szukaj) i wstecz (sprawdzanie), twierdzenie Darmois porusza się tylko do przodu (szukaj).
Formuła twierdzenia Darmois
Teoretycznie wyraża się ją, biorąc pod uwagę prostą próbkę losową zmiennej losowej X z funkcją gęstości f (x; θ) z θ ∈ Ω. Jeżeli funkcja ta należy do rodziny wykładniczej, to znaczy, że można ją wyrazić tak, że:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Wtedy statystyka T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Aby ułatwić obliczenia, zwykle wykonuje się notację logarytmiczną:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Oczywiście trudno jest zrozumieć całą tę notację matematyczną. Pojawia się wiele niewiadomych, wiele liter, wiele operatorów. Zdefiniujmy to na nowo za pomocą potocznych słów. W tym celu zaczniemy od definicji teoretycznej zastosowanej do przykładu:
Załóżmy losową próbę 50 dzieci (prosta próba losowa), do których pytamy, ile pieniędzy tygodniowo wydają na słodycze (zmienna losowa X) o danej funkcji gęstości (patrz funkcja gęstości). Tak więc, jeśli tę funkcję gęstości możemy wyrazić w następujący sposób:
Ustalimy, że wystarczająca statystyka jest sumą wyrażenia a (x)
Części wzoru są zdefiniowane w następujący sposób:
- lnβ (θ): Jest to funkcja zależna tylko od parametru (w naszym przypadku od średniej)
- lnb (x): Jest to funkcja zależna tylko od zmiennej losowej X
- a (x): Jest to funkcja, która zależy tylko od X i mnoży α (θ)
- α (θ): Jest to funkcja zależna tylko od parametru (w naszym przypadku od średniej)
Twierdzenie Darmoisa w praktyce
Chociaż wszyscy mamy możliwości i narzędzia do odkrywania nowych statystyk, rzadko jest to normą. Innymi słowy, profesorowie ekonomii i eksperci w tej dziedzinie prowadzą badania na te tematy.
Osobiście trudno jest znaleźć kogoś, kto poświęci się prowadzeniu tego typu badań. Dlatego w praktyce ważną rzeczą w tym twierdzeniu jest zrozumienie, skąd pochodzą te statystyki, których używamy.
Na przykład, aby ktoś odkrył, że średnia jest wystarczającą statystyką, prawdopodobnie użył tego procesu.