Kryterium faktoryzacji Fishera-Neymana to twierdzenie, które pozwala nam określić, czy statystyka T spełnia własność wystarczalności.
Intuicyjnie to twierdzenie pozwala nam wiedzieć, czy statystyka jest wystarczającą statystyką. I odwrotnie, bez uprzedniej informacji, próbując ustalić istnienie wystarczającej statystyki i jej wyrażenie. Zobacz wystarczającą liczbę statystyk
Wzór na faktoring Fishera-Neymana
Formalnie mówi się, że daną prostą próbkę losową (m.a.s.) zmiennej losowej X z funkcją gęstości f (x; θ) z θ ∈ Ω. Mówi się, że statystyka T = T (X1,…, Xn) jest wystarczająca dla θ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcję gęstości próbki można zapisać jako:
f (x1,…, xn) = h (x1,…, xn) × g (T, θ)
Aby zrozumieć, co oznaczają poszczególne części tego twierdzenia, zdefiniujemy je na nowo, ale za pomocą przykładu:
Losowo wybieramy 100 uczniów (prosta próba losowa) i pytamy ich, jakie są ich roczne wydatki na książki (zmienna losowa X). Ta zmienna będzie miała funkcję gęstości (patrz funkcja gęstości). Następnie musimy wybrać odpowiednią statystykę, aby obliczyć parametr ( () (parametr θ będzie średnią rocznych wydatków na księgi).
Wskazany wzór dzieli się w następujący sposób:
- f (x1,…, xn): Jest to funkcja gęstości próbki (funkcja gęstości próbki na zmiennej losowej X).
- h (x1,…, xn): Jest to funkcja, która nie pobiera wartości ujemnych tylko z próby (koszt 100 uczniów).
- g (T, ): Jest to funkcja zależna tylko od wybranej statystyki (średnia z próby) i obliczanego parametru (średnia).
Przeprowadzając odpowiednie obliczenia uzyskuje się dowód. Ta demonstracja nie zostanie tutaj pokazana, ponieważ wymagana jest zaawansowana znajomość matematyki.
Kryterium faktoringu Fishera-Neymana w praktyce
W tym sensie, biorąc pod uwagę powyższe, najważniejsze jest zrozumienie, że istnieją narzędzia do sprawdzania pewnych właściwości. Właściwości, które są niewątpliwie ważne przy prowadzeniu badań statystycznych.
Dlaczego jest to najważniejsze? Ponieważ zwykle nie robimy dowodów, aby sprawdzić, czy statystyka jest wystarczająca. Po prostu wiemy, że to wystarczy. Na przykład matematycy wykazali już, że średnia jest wystarczającą statystyką. Dlatego nie musimy tego udowadniać.
Podsumowując, chodzi o to, aby znać narzędzie do celów informacyjnych, aby zrozumieć niektóre ważne pojęcia w badaniach statystycznych.